Fuerza unidireccional (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Cálculo de la velocidad
- 2.2 Cálculo de la posición

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ está sometida a una fuerza constante $\vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}$ . Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

2 Solución

Para determinar el movimiento de la partícula usamos la Segunda ley de Newton, que dice que una partícula de masa $m$ sometida a una fuerza $\vec{F}$ adquiere una aceleración

$\vec{a} = \frac{1}{m}\vec{F}$

2.1 Cálculo de la velocidad

El enunciado nos dice que la fuerza es $\vec{F} = (A+Bt)\,\vec{\imath}$ , con $A$ y $B$ constantes. Así pues la aceleración de la partícula es

$\vec{a} = \frac{1}{m}(A+B\,t)\,\vec{\imath}$

La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad. Integrando tenemos

$\vec{a} = \frac{\mathrm{d}\vec{u}}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}\vec{u} = \vec{a}\,\mathrm{d} t \Longrightarrow \vec{u}(t) = \int\vec{a}\,\mathrm{d} t + \vec{c}$

El vector $\vec{c}$ es una constante que viene determinada por las condiciones iniciales. Introduciendo la expresión de la aceleración obtenemos

$\vec{u}(t) = \vec{c} + \int (A+B\,t)\,\vec{\imath}\mathrm{d} t = \vec{c} + \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\vec{\imath}$

El enunciado dice que la partícula parte del reposo. Por tanto, en $t = 0$ la velocidad es nula. Obtenemos

$\vec{u}(0) = \vec{c} = \vec{0}$

Así pues la velocidad en cada instante es

$\vec{u}(t) = \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\,\vec{\imath}$

La condición inicial puede incluirse de otra manera haciendo una integral definida y teniéndola en cuenta en los límites de integración. La ecuación \reff{eq:3} se reescribiría

$\mathrm{d}\vec{u}=\vec{a}\,\mathrm{d} t\Longrightarrow \int\limits_{\vec{u}(0)}^{\vec{u}(t)}\mathrm{d}\vec{u} = \int\limits_0^t\vec{a}\,\mathrm{d} t \Longrightarrow \vec{u}(t) = \vec{u}(0) + \frac{1}{m}\left(A\,t + \frac{1}{2}B\,t^2\right)\,\vec{\imath}$

Aplicando de nuevo la condición inicial $\vec{u}(0)=\vec{0}$ reobtenemos el resultado anterior.

2.2 Cálculo de la posición

La velocidad es la derivada del vector de posición en el tiempo. Procedemos igual que en el cálculo anterior y tenemos

$\vec{u} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} \Longrightarrow \mathrm{d}\vec{r} = \vec{u}\,\mathrm{d} t$

Usamos la integral definida con las condiciones iniciales incluidas en los límites de integración

$\int\limits_{\vec{r}(0)}^{\vec{r}(t)} \mathrm{d}\vec{r} = \int\limits_0^t\vec{u}\,\mathrm{d} t \Longrightarrow \vec{r}(t) = \vec{r}(0) + \int_0^t\vec{u}\,\mathrm{d} t$

El enunciado dice que la partícula parte desde el origen des sistema de referencia, por lo que $\vec{r}(0)=\mathbf(0)$ . Utilizando la expresión de la velocidad obtenemos

$\vec{r}(t) = \frac{1}{m}\left(\frac{A}{2}t^2 + \frac{B}{6}t^3\right)\,\vec{\imath}$

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