Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula libre de masa $m$ está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas $k A$ , $k B$ y $k C$ . Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son $A ( - a,0,0)$ , $B (a,0,0)$ y $C (0, a,0)$ .

Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
Considera las situaciones siguientes
1. $m = 0$ y $k A = k B = k C = k$
2. $m = 0$ y $k_A=k_B\gg k_C$
3. $k A = k B = k C = k$ y $m > > k a / g$ .

2 Solución

Tenemos una partícula libre sometida a cuatro fuerzas activas, una por cada muelle mas la gravedad. Al no estar sometida a ninguna ligadura la partícula tiene tres grados de libertad. Su posición de equilibrio es

$\vec{r} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k}$

donde $x$ , $y$ , $z$ pueden tomar cualquier valor.

Como los muelles tienen longitud nula, las fuerzas a la que cada uno somete a la partícula cuando esta se encuentre en una posición $\vec{r}$ son

$\left. \begin{array}{l} \vec{F}_A = -k_A(\vec{r}-\vec{r}_A)\\ \vec{F}_B = -k_B(\vec{r}-\vec{r}_B)\\ \vec{F}_C = -k_C(\vec{r}-\vec{r}_C) \end{array} \right.$

donde los vectores $\vec{r}_A$ , $\vec{r}_B$ , $\vec{r}_C$ son los vectores que apuntan al punto de anclaje de cada muelle. Según los datos del problema

$\vec{r}_A = \overrightarrow{OA}=-a\,\vec{\imath}, \qquad\qquad \vec{r}_B = \overrightarrow{OB}=a\,\vec{\imath}, \qquad\qquad \vec{r}_C=\overrightarrow{OC}=a\,\vec{\jmath}$

Suponemos la gravedad actuando en la dirección negativa del eje $O Y$ . La fuerza gravitatoria sobre la partícula es

$\vec{F}_g = -mg\,\vec{\jmath}$

Para que haya equilibrio mecánica la resultante del sistema de fuerzas aplicadas sobre a partícula debe tener resultante nula. Esta condición nos proporciona una ecuación vectorial que equivale a tres ecuaciones escalares, una por cada componente

$\sum\limits_{i=1}^n=\vec{0} \Longrightarrow \vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C+\vec{F}_g = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{rcl} -(k_A+k_B+k_C)x - (k_A-k_B)a&=&0\\ -(k_A+k_B+k_C)y + k_Ca -mg&=&0\\ -(k_A+k_B+k_C)z &=&0 \end{array} \right.$

Tenemos así tres ecuaciones para tres incógnitas, el valor de las coordenadas de equilibrio de la partícula. Despejando obtenemos

$\left. \begin{array}{ccccc} x=\dfrac{(k_B-k_A)a}{k_A+k_B+k_C}&\qquad\qquad&y= \dfrac{k_Ca-mg}{k_A+k_B+k_C}&\qquad\qquad&z=0 \end{array} \right.$

La posición de equilibrio se encuentra en el plano $O X Y$ , esto es, el definido por los puntos de anclaje de los muelles.

2.1 Caso a

Los tres muelles tienen la misma constante elástica y se desprecia el peso de la partícula. La posición de equilibrio es

$\left. \begin{array}{ccccc} x=0&\qquad\qquad& y= \dfrac{a}{3}&\qquad\qquad&z=0 \end{array} \right.$

Como los muelles $A$ y $B$ son iguales la posición de equilibrio esta en el $O Y$ , donde todos los puntos son equidistantes de los puntos $A$ y $B$ . La partícula está algo más cerca del origen que del punto $C$ porque el triángulo no es equilátero. Si lo fuera el punto de equilibrio estaría a la misma distancia de los tres vértices.

2.2 Caso b

De nuevo se desprecia el peso, pero los muelles $A$ y $B$ son iguales entre sí y con un valor de la constante mucho mayor que la del muelle $C$ . La situación de equilibrio es

$\left. \begin{array}{ccccc} x=0&\qquad\qquad& y= \dfrac{k_C}{2k+k_C}a&\qquad\qquad&z=0 \end{array} \right.$

Al ser mucho más fuertes los muelles en $A$ y $B$ deben tirar con más fuerza de la partícula. El valor de equilibrio $y$ de puede escribirse

$y = a\dfrac{k_C}{2k}\left(1+\dfrac{k_C}{2k}\right)^{-1}$

Usamos ahora el desarrollo de Taylor de la función $(1 + x) n$ . Cuando $x$ es mucho menor que 1 se tiene

$(1+x)^n\simeq 1 + nx + O(x^2)$

La expresión $O (x 2)$ significa que los términos despreciados en el desarrollo son del orden de $x 2$ o potencias mayores de $x$ . Estos términos son despreciables pues si $x\ll1$ cualquier potencia de $x$ es todavía más pequeña. En la expresión de $y$ tenemos que $x = k C / 2 k$ y $n = - 1$ . Por tanto, si $k_C\ll k$ podemos escribir

$y\simeq a\dfrac{k_C}{2k}\left(1-\dfrac{k_C}{2k}\right)$

Como $(k_C/2k)\ll1$ , este valor de $y$ es mucho menor que $a$ . Es decir, en la posición de equilibrio la partícula se encuentra muy próxima a la línea que une los puntos de anclaje de los muelles $A$ y $B$ . Esto es coherente con el hecho de que esos dos muelles tienen constantes elásticas mucho mayores que la del muelle en $C$ , y por tanto tiran con más fuerza de la partícula.

2.3 Caso c

Ahora los tres muelles tienen la misma constante elástica y tenemos en cuenta la gravedad. La posición de equilibrio viene dada por

$\left. \begin{array}{ccccc} x=0&\qquad\qquad& y= \dfrac{ka-mg}{3k}&\qquad\qquad&z=0 \end{array} \right.$

El enunciado nos dice que la masa es muy grande. En concreto, la condición es $m\gg ka/g$ . El valor de la coordenada $y$ puede escribirse

$y = -a\dfrac{mg}{3ka}\left(1-\dfrac{ka}{mg}\right)$

La condición del enunciado implica también $ka\ll mg$ y $mg \gg ka$ . Por tanto

$y\simeq -a\dfrac{mg}{3ka}$

Es decir, la posición de equilibrio de la partícula corresponde a valores negativos de la coordenada $y$ y con valor absoluto mucho mayor que $a$ . (En realidad sería mucho mayor que $a / 3$ , pero en orden de magnitud es equivalente)

Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles (GIA)

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Caso a

2.2 Caso b

2.3 Caso c

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