Ejercicio de dinámica de la partícula, Diciembre 2012 (F1 GIA)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula material de masa

m

, se encuentra sobre una rampa de longitud indefinida cuya inclinación respecto del plano horizontal es

α

. El contacto entre la partícula y la rampa es de naturaleza rugosa, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor

μ

. Partiendo del reposo en el punto más bajo de la rampa,

O

, la partícula asciende por ella empujada por un resorte de longitud natural

l 0

y constante recuperadora

k

.

Obtenga la expresión que determina a qué distancia del extremo $O$ se detiene la partícula.
¿A qué distancia su velocidad será máxima?

2 Solución

2.1 Descripción del sistema mecánico

Comenzaremos adoptando un sistema de referencia que permita describir analíticamente las magnitudes vectoriales que intervienen en el análisis dinámico del sistema: las fuerzas y magnitudes cinemáticas. Tomamos un sistema de ejes cartesianos $O X Y Z$ , con origen en el extremo fijo del resorte, el eje $O Y$ perpendicular al plano inclinado en que se mueve la masa, y tal que el eje $O Z$ sea perpendicular a la dirección del vector $\vec{g}$ que describe el campo gravitatorio terrestre.

Además, asumimos que el cuerpo material se mueve trasladándose a lo largo del eje $O X$ (paralelo a la superficie de la rampa), de manera que para analizar su movimiento podemos considerar que se comporta como una partícula material $P$ de masa $m$ , situada en el centro de masas, y que se desplaza siempre a lo largo del eje $O X$ , debido al contacto con el plano inclinado. Se tendrá, por tanto,

$\overrightarrow{OP}=\vec{r}(t)=x(t)\!\ \vec{\imath}\quad\Longrightarrow\quad\vec{v}(t)=\dot{x}(t)\!\ \vec{\imath}\quad\Longrightarrow\quad\vec{a}(t)=\ddot{x}(t)\!\ \vec{\imath}$

2.1.1 Fuerzas que actúan sobre la partícula

La partícula está sometida a la acción de la gravedad y a la acción recuperadora del resorte, para mantener o recuperar su longitud natural $l 0$ . Pero además, la partícula está sometida al vínculo unilateral que impone el contacto con el plano inclinado que, además, es de naturaleza rugosa. Aplicando el principio de liberación, modelamos el contacto de la partícula material con el plano inclinado mediante una fuerza de reacción vincular $\vec{N}$ , que dé cuenta del vínculo geométrico (liso) unilateral, y que impide los desplazamientos en la dirección y el sentido de $-\vec{\jmath}$ (normal al plano inclinado):

$\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}x\!\ \vec{\imath}\;\;\Longrightarrow\;\;\vec{N}=N\!\ \vec{\jmath}\!\ \perp\!\ \mathrm{d}\vec{r}\mathrm{;}\quad \mbox{con}\quad N\geq 0$

El carácter rugoso del contacto se modela mediante una fuerza de rozamiento dinámico que no impide los movimiento compatibles con el vínculo liso anteriormente considerado, pero que sí los obstaculiza. Asumiendo que las condiciones del contacto permiten aplicar las leyes de Coulomb para el rozamiento seco, y que la partícula se desplaza sobre el plano inclinado, se tendrá que:

$\vec{f}_\mathrm{roz}=-\mu\!\ |\vec{N}|\!\ \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=f_\mathrm{roz}\!\ \vec{\imath}$

Obsérvese que la fuerza puede actuár tanto en el sentido opuesto al vector $\vec{\imath}$ , como en el mismo sentido de éste, en función de que la masa se mueva ascendiendo o descendiendo por la rampa.

Por su parte, las expresiones analíticas de las fuerzas que describen la acción de la gravedad (fuerza peso), y del resorte son:

$\vec{P}=m\!\ \vec{g}=-mg \!\ \big[\mathrm{sen}\!\ \alpha\!\ \vec{\imath}\!\ + \!\ \cos\alpha\!\ \vec{\jmath}\!\ \big]\mathrm{;}\qquad\vec{F}_\mathrm{r}(x)=k\!\ \big[l_0-x\big]\!\ \vec{\imath}$

donde tenemos en cuenta de nuevo que la partícula que modela al cuerpo material se desplaza siempre a lo largo del eje $O X$ .

Unas vez que tenemos la expresión analítica de las fuerzas y de la aceleración, las leyes de la Dinámica nos proporcionan ecuaciones para cada una de las direcciones ortogonales del espacio, a partir de las cuales podremos determinar la ley horaria $x (t)$ :

$\vec{P}+\vec{F}_\mathrm{r}+\vec{N}+\vec{f}_\mathrm{roz}=m\!\ \vec{a}\quad\longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle k\!\ \big[l_0-x(t)\big]-mg\!\ \mathrm{sen}\!\ \alpha\mp\mu N =m\!\ \ddot{x}(t)\\ \\ \displaystyle N-mg\!\ \cos\alpha=0\end{array}\right.$

Sin embargo, para responder a las cuestiones planteadas en el enunciado, no es necesario determinar cómo es dicha ley horaria, pues podemos hacerlo a partir de los aspectos energéticos del sistema bajo estudio.

2.2 Trabajo y energía en el sistema

El teorema de la energía cinética establece que, tanto en un proceso finito como en uno de duración infinitesimal, el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúa sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética. En el sistema bajo estudio se tendrá que...

$\mathrm{d}K=\delta W\mathrm{,}\;\;\forall\,\mathrm{d}t\mathrm{,}\quad\mbox{con}\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle K(t)=\frac{1}{2}\ m\!\ |\vec{v}(t)|^2=\frac{1}{2}\ m\!\ \dot{x}^2(t)\\ \\ \displaystyle\delta W=\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{r}+\vec{F}_\mathrm{r}\cdot\mathrm{d}\vec{r}+\underbrace{\vec{N}\cdot\mathrm{d}\vec{r}}_{=\vec{0}}+\vec{f}_\mathrm{roz}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\end{array}\right.$

Como sabemos, la fuerza de reacción $\vec{N}$ que modela el vínculo geométrico liso no realiza trabajo, pues sólo actúa para impedir desplazamientos no compatibles. Los trabajos realizados por la fuerza peso y la del resorte sólo dependerán de las posiciones inicial y final de la partícula, y no del camino recorrido por ésta entre dichas posiciones. Se dice que éstas son fuerzas conservativas, pudiendo definirse sendas magnitudes escalares función de la posición, $U_g(\vec{r})$ y $U_\mathrm{r}(\vec{r})$ , llamadas energías potenciales, cuya variación en todo proceso es opuesta al trabajo realizado por las fuerzas correspondientes. En nuestro caso,

$\begin{array}{l}\displaystyle \delta W_g=\vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-mg\!\ \mathrm{sen}\!\ \alpha\!\ \mathrm{d}x=-\mathrm{d}U_g\quad\longrightarrow\quad U_g(x)=mg\!\ x \!\ \mathrm{sen}\!\ \alpha\\ \\ \displaystyle \delta W_\mathrm{r}=\vec{F}_\mathrm{r}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-k\!\ \big[x-l_0\big]\!\ \mathrm{d}x=-\mathrm{d}U_\mathrm{r}\quad\longrightarrow\quad U_\mathrm{r}(x)=\frac{1}{2}\ k \big[x-l_0\big]^2\end{array}$

de manera que el valor de referencia de la energía potencial gravitatoria está en el plano horizontal que contiene al punto $O$ ( $U g (0) = 0$ ), y la del resorte, cuando la elongación de éste coincide con su longitud natural ( $U r (x = l 0) = 0$ ).

Por el contrario, la fuerza de rozamiento no es conservativa, pues el trabajo que realiza cuando la partícula se desplaza entre dos puntos depende del camino que seguido por aquélla.

2.2.1 La fuerza de rozamiento no es conservativa

Comprobemos dicha afirmación en un caso general: sea una partícula que se desplaza entre dos puntos

A

y

B

, sometida a la acción de una fuerza de rozamiento $\vec{f}_\mathrm{roz}$ que, como la descrita anterioremente, cumple las leyes del rozamiento seco de Coulomb. Y sea $\Gamma: \!\ \vec{r}(s)$ la trayectoria seguida por la partícula al desplazarse entre ambos puntos, donde

s

es el parámetro arco característico de la curva.

El trabajo realizado por dicha fuerza durante el proceso se calcularía de la siguiente forma:

$W_\mathrm{roz}^{A\rightarrow B}=\int_{A(\Gamma)}^B\! \delta W_\mathrm{roz}=\int_{A(\Gamma)}^B\! \vec{f}_\mathrm{roz}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\mathrm{,}\quad\mbox{con}\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\vec{f}_\mathrm{roz}=-\mu|\vec{N}|\ \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\mu_d|\vec{N}|\!\ \vec{T} \\ \\ \displaystyle\mathrm{d}\vec{r}\big\rfloor_\Gamma= |\mathrm{d}\vec{r}|\!\ \vec{T}=\mathrm{d}s\!\ \vec{T}\end{array}\right.$

siendo $\vec{T}$ el vector unitario tangente a la trayectoria $Γ$ , en cada punto de ésta. Obsérvese que, como la variable de integración es el propio parámetro arco de la trayectoria, el resultado de la integral (es decir, el trabajo), va a depender de la distancia $Δ s$ recorrida por la partícula entre los puntos $A$ y $B$ y, por tanto, de la trayectoria seguida:

$W_\mathrm{roz}^{A\rightarrow B}=\int_{A(\Gamma)}^B\! \delta W_\mathrm{roz}=-\int_{s(A)}^{s(B)}\! \mu|\vec{N}|\!\ \mathrm{d}s=W_\mathrm{roz}(\Delta s)\mathrm{,}\quad\mbox{con}\quad\Delta s=s(B)-s(A)$

En consecuencia, no existe una energía potencial escalar, función de la posición cuya variación en un proceso sea opuesta al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Otra propiedad de esta fuerza de rozamiento es que, en todo instante, es negativa:

$\forall\,\mathrm{d}t\mathrm{,}\quad\delta W_\mathrm{roz}=\vec{f}_\mathrm{roz}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\mu_d|\vec{N}|\!\ |\mathrm{d}\vec{r}|<0$

En el sistema bajo estudio, el coeficiente de rozamiento dinámica tiene un valor $μ$ y, como hemos visto anteriormente, el módulo de la fuerza de reacción vincular tiene el mismo valor en todos los puntos de la rampa (siempre que el cuerpo esté en contacto con ella). El trabajo elemental realizado por la fuerza de rozamiento, y el que ésta realiza cuando la masa se ha desplazado desde su posición inicial en el punto $O$ , hasta una posición $P (t)$ , recorriendo una distancia $x (t)$ , son:

$\forall\,\mathrm{d}t\mathrm{,}\quad\delta W_\mathrm{roz}=-\mu\!\ mg\!\cos\alpha\!\ |\mathrm{d}x|\quad\longrightarrow\quad W_\mathrm{roz}^{O\rightarrow P(t)}=-\mu\!\ mg\!\ \cos\alpha \int_0^{x(t)} \!\mathrm{d}x=-\mu\!\ mg\!\ x(t)\!\ \cos\alpha$

2.2.2 Energía mecánica de la partícula

Esta magnitud escalar se define, en cada instante, como la suma de la energía cinética de la partícula más las energías potenciales correpondientes a las diversas fuerzas conservativas que actúan sobre aquélla. En nuestro caso,

$E(t)=K(t)+U_g[x(t)]+U_r[x(t)]=\frac{1}{2}\ m\!\ \dot{x}^2(t)+mg\!\ x(t) \!\ \mathrm{sen}\!\ \alpha+\frac{1}{2}\ k \big[x(t)-l_0\big]^2$

Y si aplicamos el teorema de la energía cinética, se obtiene ...

$\forall\,\mathrm{d}t\mathrm{,}\quad\mathrm{d}K=\delta W=-\mathrm{d}U_g-\mathrm{d}U_r+\delta W_\mathrm{roz}\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{d}E=\mathrm{d}(K+U_g+U_r)=\delta W_\mathrm{roz}<0$

Es decir, en cada instante, la energía mecánica de la partícula va a sufrir una variación igual al trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. Y como éste es negativo, dicha variación consistirá en una disminución de la energía mecánica. Si consisderamos un proceso en el cual la partícula parte del punto $O$ y asciende por la rampa durante un tiempo $t$ hasta situarse a una distancia $x (t)$ , del punto inicial se tendrá que:

$E(t)-E(0)=\int_0^t\!\mathrm{d}E=\int_O^{P(t)}\!\delta W_\mathrm{roz}=W_\mathrm{roz}^{O\rightarrow P(t)}$

De la ecuación anterior sólo nos falta por determinar la energía mecánica inicial de la partícula, cuando se encuentra en reposo en el punto $O$ :

$E(0)=E[x=0;\dot{x}=0]=\frac{1}{2}\ kl_0^2$ $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $E(t)-\frac{1}{2}\ kl_0^2=W_\mathrm{roz}^{O\rightarrow P(t)}$

Esta es la ecuación que gobierna el proceso de ascenso de la partícula sobre la rampa.

2.3 Posiciones accesibles a la partícula

Si en la última ecuación del subapartado anterior sustituimos la definición de la energía mecánica $E (t)$ en términos de las energías potenciales y cinética, y el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento (anteriormente calculado), podemos obtener un expresión de la velocidad con que la partícula asciende por la rampa, en función de la distancia $x$ a la que se encuentre:

$\dot{x}^2(x)=x\!\ \left[\frac{k}{m}\ (2l_0-x)-2g\!\ (\mathrm{sen}\alpha+\mu\cos\alpha)\right]$

Obsérvese también que esta expresión nos permite determinar en qué posiciones la velocidad de la partícula es nula:

$\dot{x}(x)=0$ $\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} \displaystyle x=0\\ \;\;\;\acute{\mathrm{o}} \\ \displaystyle x=2\!\ l_0\!\ \left[1-\frac{mg}{kl_0}\ (\mathrm{sen}\!\ \alpha+\mu\cos\alpha)\right]=x_0\end{array}\right.$

Por otra pate, nótese que cuando la partícula se mueve, $\dot{x}$ tendrá un valor distinto de cero y su cuadrado será una cantidad estrictamente positiva. Es decir, a partir del instante inicial, la partícula sólo podrá moverse de un determinado rango de posiciones:

$\forall\, t>0\mathrm{,}\quad \dot{x}^2[x(t)]>0$ $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle 0<x(t)<x_0$

de manera que los límites de dicho rango son precisamente las posiciones en que la partícula está detenida. El límite inferior se corresponde con la posición inicial de la partícula, $x (t = 0) = 0$ , donde se hallaba en reposo pero con energía mecánica no nula, ya que el resorte está comprimido, siendo su energía potencial distinta de cero. En dicha posición, la aceleración de la partícula es distinta de cero, debido a la fuerza recuperadora del resorte. Por tanto, la partícula comienza a moverse, asciendo por la rampa: sus energías cinética y potencial gravitatoria empiezan a aumentar, a costa de que disminuya la energía potencial del resorte. No obstante, la energía mecánica de la partícula no permanece constante, ya que la fuerza de rozamiento produce en cada instante una disminución de dicha energía. Al cabo de un intervalo de tiempo $t 0$ , la partícula alcanza la posición $x (t 0) = x 0$ , antes calculada, en la cuál se detiene, al menos de manera instantánea. Obsérvese que el cuerpo pesado no puede superar dicha posición, ya que ello implicaría un resultado sin sentido físico:

$x>x_0\quad\Longrightarrow\quad\dot{x}^2(x)<0\!\ !!!$

Aunque no se pide en el enunciado, a partir de estos resultados podemos hacer algunas consideraciones acerca de los valores de los parámetros del sistema: para que la partícula abandone la posición inicial es necesario que dichos valores sean tales que $x > x 0$ . Asimismo, si queremos asegurar que el resorte esté en todo momento empujando al cuerpo material deberá cumplirse que, en la posición final, aquél no habrá alcanzado aún su longitud natural; es decir,

$0<x_0<l_0\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2} <\frac{mg}{kl_0}\ (\mathrm{sen}\!\ \alpha+\mu\cos\alpha) < 1$

2.4 Posición de velocidad máxima

También se solicita en el enunciado determinar la posición en que la partícula alcanza su velocidad máxima cuando asciende por la rampa. Es decir, si $x M$ es la distancia a la que se encuentra dicha posición respecto del punto $O$ , se debe cumplir:

$\forall\, t\in[0;t_0]\mathrm{,}\quad \dot{x}(t)\leq \dot{x}(x_M)=v_M$

Y donde la velocidad tiene alcanza un valor máximo, también lo alcanzará el cuadrado de esta magnitud y, por tanto, la energía cinética de la partícula. Es decir, si definimos la función de la posición,

$f(x)=\dot{x}^2(x)=\frac{k}{m}\ x\!\ \left[ 2l_0-x-\frac{2mg}{k}\!\ (\mathrm{sen}\alpha+\mu\cos\alpha)\right]=\frac{k}{m}\ x\!\ (x_0-x)$

ésta también tendrá un máximo en el valor $x M$ . Por tanto, es condición necesaria que la derivada de aquella función debe ser anularse al evaluarla en dicha posición:

$\forall\, x\in[0;x_0]\mathrm{,}\quad f(x)\leq f(x_M)=v_M^2\quad\Longrightarrow\quad\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}\bigg\rfloor_{x=x_M}=\frac{k}{m}\!\ \big[x_0-2x\big]_{x=x_M}=0$

Podemos comprobar que la posición de extremo que obtenemos de la ecuación anterior es un máximo, porque la derivada segunda de $f (x)$ es siempre negativa:

$\frac{\mathrm{d}^2f(x)}{\mathrm{d}x^2}=-2\ \frac{k}{m}<0\mathrm{,}\;\; \forall\, x$ $\Rightarrow$ $x_M=\frac{x_0}{2}=l_0\!\ \left[1-\frac{mg}{kl_0}\ (\mathrm{sen}\!\ \alpha+\mu\cos\alpha)\right]$

Ejercicio de dinámica de la partícula, Diciembre 2012 (F1 GIA)

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2 Solución

2.1 Descripción del sistema mecánico

2.1.1 Fuerzas que actúan sobre la partícula

2.2 Trabajo y energía en el sistema

2.2.1 La fuerza de rozamiento no es conservativa

2.2.2 Energía mecánica de la partícula

2.3 Posiciones accesibles a la partícula

2.4 Posición de velocidad máxima

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