De Laplace

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1 Problemas del boletín
2 Otros problemas

1 Problemas del boletín

1.1 Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle

Una masa $m$ se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica $k$ y longitud natural $l 0$ . La masa se encuentra a una altura $h$ relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.

Determina la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto $B)$ .
¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, $k m i n$ , para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
Supón ahora que entre los puntos $A$ y $B$ hay una región de longitud $d$ en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es $μ$ , ¿cuál es el nuevo valor mínimo de $k$ en el apartado anterior?
Supongamos que $k > k m i n$ . En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcula la velocidad con la que la partícula vuelve al punto $A$ y la altura a la que sube por la pendiente.
Calcula numéricamente las magnitudes pedidas si $m=100\,\mathrm{g}$ , $h=50.0\,\mathrm{cm}$ , $l_0=5.00\,\mathrm{cm}$ , $μ = 0.200$ , $d=10.0\,\mathrm{cm}$ , $g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$ .

1.2 Partícula sobre una rampa con muelle

Para lanzar una partícula material de masa $m$ se dispone de una rampa de lanzamiento de longitud $l$ y un resorte de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula que tiene el extremo fijado al punto $A$ de la rampa. Para proceder al lanzamiento, la partícula se coloca en el otro extremo del resorte, situado en el punto $O$ .

Determina las condiciones iniciales de posición y velocidad para el movimiento libre de la partícula (cuando la partícula abandona la rampa en el punto A), en función del ángulo α que forma la rampa con la horizontal, en las siguientes situaciones
1. El rozamiento de la partícula en la rampa es despreciable.
2. El rozamiento seco de la partícula en la rampa está caracterizado por un coeficiente dinámico $μ$ .
Calcula la altura máxima de la partícula respecto del suelo en las dos situaciones del apartado anterior.

1.3 Partícula deslizando sobre un disco

Una partícula $P$ , de masa $m$ , es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio $R$ que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.

1.4 Ecuaciones de movimiento de un péndulo usando el teorema del momento cinético

Determina la ecuación de movimiento de un péndulo simple, con una masa $m$ y una cuerda inextensible de longitud $L$ , sometido a la acción de la gravedad, usando el Teorema del Momento Cinético. Calcula la tensión en la cuerda en función del tiempo.

1.5 Partícula sometida a la acción de dos muelles

Una partícula $P$ , de masa $m$ , se mueve en el plano horizontal sometida a la acción de dos resortes elásticos ideales e idénticos, de constante $k$ y longitud natural nula. Los puntos de anclaje son $C ( - d,0)$ y $D (d,0)$ , respectivamente

Escribe la ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula.
Si las condiciones iniciales son $\vec{r}(0)=a\,\vec{\imath}$ y $\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\jmath}$ , encuentra las expresiones que dan la posición y la velocidad de la partícula en todo instante de tiempo.
Determina, para todo instante de tiempo, el momento cinético, $\vec{L}_O$ , de la partícula $P$ respecto al origen de coordenadas $O$ , así como su energía mecánica, $E$ . ¿Qué teoremas de conservación explican las propiedades de estas magnitudes en este problema?

2 Otros problemas

2.1 Bala penetrando en un bloque de madera

Una bala de masa $m=10.0\,\mathrm{g}$ viaja con velocidad $v=120\,\mathrm{m/s}$ . Impacta con un bloque de madera y penetra en él una distancia $s=2.30\,\mathrm{cm}$ - ¿Cuál es el valor aproximado de la fuerza media ejercida por el bloque sobre la bala?

2.2 Péndulo enrollándose alrededor de una clavija delgada

Un péndulo consiste en una pequeña masa $m$ atada al extremo de una cuerda inextensible y sin masa de longitud $l$ . La masa se coloca en el plano horizontal y se suelta. En el punto más bajo de la oscilación (punto $B$ ), la cuerda choca con una clavija delgada (punto $O$ ) situada a una distancia $R$ por encima de del punto $B$ .

Para el punto más bajo de la oscilación (punto $B$ ) calcula el módulo de la velocidad de la masa, su cantidad de movimiento y su momento cinético respecto al punto $D$ .
Expresa en coordenadas polares la posición respecto del punto $O$ de la masa después de que la cuerda haya chocado con la clavija (punto $P$ ). Encuentra la expresión de la velocidad y la aceleración de la masa.
Para el movimiento de la masa después del punto $B$ , encuentra la expresión de la ecuación diferencial que rige la variación del ángulo $θ$ , la expresión que da la tensión de la cuerda y las condiciones iniciales de la ecuación diferencial en el punto $B$ .
¿Cuál es la condición que debe cumplir la distancia $R$ para que la masa describa al menos un círculo completo alrededor de la clavija, es decir, para que llegue al punto $C$ ?

2.3 Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante

Una partícula de masa $m$ se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme $ω$ en torno a un eje perpendicular al del tubo, de forma que la posición de la partícula puede describirse como

$\begin{matrix} x(t) = r(t)\,\cos(\omega t)&\qquad\qquad& y(t) = r(t)\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \end{matrix}$

Halla la ecuación diferencial que cumple la función $r (t)$ sabiendo que el vínculo entre la partícula y el tubo es liso.
Comprueba que

$r(t) = A\,e^{\omega t}$

es una solución de la ecuación para $r (t)$ .

Para esta solución particular
1. Calcula la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
2. Halla la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula. Calcula el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de $r = b$ a $r = 2 b$ .
3. Calcula el incremento de la energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y comprueba que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

2.4 Péndulo con velocidad inicial

Una masa $m$ cuelga de un hilo inextensible sin masa. En la posición inicial el hilo forma un ángulo $θ 0$ con la vertical. La masa empieza a moverse con velocidad de módulo $v 0$ y con la dirección y sentido indicados en la figura.

¿Cuál es la expresión de la velocidad en función del ángulo?
Con los valores numéricos $L=10.0\,\mathrm{cm}$ , $θ 0 = π / 6$ , ¿qué condición debe cumplir $v 0$ para que la masa de una vuelta completa?

2.5 Partícula engarzada en un hilo circular con un muelle

Una partícula de masa $m$ está engarzada en un aro de radio $R$ . El contacto entre la partícula y el aro es liso. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural nula. El otro extremo del muelle está anclado en el punto $A$ . En el instante inicial la partícula se encuentra en el punto $A$ y se le comunica una velocidad vertical de módulo $v 0$ .

Encuentra la expresión de la energía mecánica del muelle en todo instante.
Calcula el momento cinético de la partícula cuando $θ = π / 4$ .
¿Cuál es el valor mínimo de $v 0$ para que la partícula llegue hasta el punto $B$ ?

Nota: La energía potencial elástica del muelle tiene la expresión $U k = k l 2 / 2$ , siendo $l$ su longitud.

2.6 Partícula en plano inclinado con dos muelles

Una masa $m$ desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo $β$ respecto a la horizontal. La barra está conectada a dos muelles ideales como se indica en la figura. Los muelles tienen constante elástica $k$ y longitud natural nula. El muelle se ajusta de modo que $k = m g / L$ . El ángulo $β$ cumple

$\,\mathrm{sen}\,\beta= 3/5, \qquad \cos\beta= 4/5.$

Escribe la expresión que da la energía mecánica de la partícula para cualquier punto del plano.
En el instante inicial la partícula está en el punto $A$ y se le comunica una velocidad de módulo $v 0$ dirigida hacia arriba. ¿Que valor mínimo debe tener $v 0$ para que la partícula llegue hasta el punto B?
Repite el cálculo del apartado anterior si hay un rozamiento entre la partícula y el plano con coeficiente de rozamiento dinámico $μ = 0.5$ .

2.7 Partícula sometida a una fuerza viscosa cuadrática

Una partícula de masa $m$ realiza un movimiento rectilíneo sobre el eje $O X$ con una velocidad $\vec{v} = A t^3\,\vec{\imath}$ , siendo $A$ una constante. Sobre la partícula actúa una fuerza de rozamiento viscoso $\vec{F}_r = -b\,v^2\,\vec{\imath}$ , siendo $b$ una constante y $v$ la rapidez de la partícula.

Escribe la potencia que esta fuerza de rozamiento transmite a la partícula en cada instante de tiempo.
Cuanto vale el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento entre los instantes de tiempo $t = 0$ y $t = T$ ?
Calcula el trabajo neto total realizado sobre la partícula entre el mismo intervalo de tiempo.

2.8 Movimiento de una partícula en semiaro circular con muelle usando el momento cinético

Una partícula de masa $m$ está engarzada en un semiaro de radio $R$ . Un muelle de constante elástica $k = m g / R$ y longitud natural nula conecta la partícula y el punto $A$ del semiaro. La gravedad no actúa.

Dibuja el diagrama de fuerzas de la partícula.
Escribe la expresión que da el momento cinético de la partícula respecto al punto $O$ .
Aplicando el Teorema del Momento Cinético, encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.

2.9 Partícula moviéndose en una elipse sometida a una fuerza central

Una partícula de masa $m=20.0\,\mathrm{kg}$ recorre una trayectoria elíptica en el plano $X Y$ . La ecuación de la elipse es $(x / 2 d) 2 + (y / d) 2 = 1$ , con $d=2.00\,\mathrm{m}$ . En el instante inicial la partícula se encontraba en el punto $A$ con velocidad $\vec{v}_A=v_0\,\vec{\jmath}$ , siendo $v_0=3.00\,\mathrm{cm/s}$ . Durante su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen $O$ .