Ecuaciones de movimiento de un péndulo usando el teorema del momento cinético (GIC)
De Laplace
1 Enunciado
Encuentra las ecuaciones que describen el móvimiento de un péndulo ideal utilizando la variación del momento angular.
2 Solución
La figura de la derecha muestra un péndulo formado por una masa m colgando de un hilo sin masa e inextensible de longitud R. La trayectoria que describe la masa es una circunferencia de radio R y con centro en O, punto del que cuelga la cuerda.
La masa está sometida a la acción de su peso y la tensión que ejerce la cuerda. Vamos a resolver el problema usando el momento angular de la masa y su derivada. El vector de posición de la partícula es
El movimiento circular que describe la partícula puede describirse con un vector rotación 
de la forma
La velocidad de la partícula es
Esto también puede obtenerse derivando 
respecto del tiempo.
El movimiento circular de la partícula puede entenderse como una rotación alrededor del eje fijo OZ. Entonces, el momento de inercia de la partícula respecto de ese eje es
I = mR2
Y el momento angular respecto de O es
La variación en el tiempo de 
es
donde 
es el momento neto de las fuerzas que actúan sobre la partícula respecto del punto O. En este caso las fuerzas son el peso y la tensión de la cuerda, es decir
El momento de la tensión de la cuerda es cero, pues 
y 
son paralelos. Para el peso tenemos
Tenemos entonces
Por tanto, la ecuación diferencial para θ(t) es
Teniendo en cuenta la expresión para I obtenemos
que es la misma ecuación que obteníamos en el tema de dinámica de la partícula. Esta ecuación no la sabemos resolver, pero cuando el ángulo es pequeño podemos hacer la aproximación 
y nos queda la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia angular 
.
