De Laplace

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1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ está engarzada en un semiaro de radio $R$ . Un muelle de constante elástica $k = m g / R$ y longitud natural nula conecta la partícula y el punto $A$ del semiaro. La gravedad no actúa.

Dibuja el diagrama de fuerzas de la partícula.
Escribe la expresión que da el momento cinético de la partícula respecto al punto $O$ .
Aplicando el Teorema del Momento Cinético, encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.

2 Solución

2.1 Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula. La fuerza vincular $\vec{N}$ es perpendicular al aro, es decir, radial. La fuerza del muelle apunta hacia el punto de anclaje del muelle $A$ . Las expresiones de estas fuerzas son

$\begin{array}{l} \vec{N} = N\cos\theta\,\vec{\imath} + N\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},\\ \vec{F}_k = -k\overrightarrow{AP} = -k(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}) = -kR(1+\cos\theta)\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}. \end{array}$

Hemos usado los vectores

$\begin{array}{l} \overrightarrow{OP} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},\\ \overrightarrow{OA} = - R\,\vec{\imath}. \end{array}$

2.2 Momento cinético

El momento cinético respecto del punto $O$ es

$\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v}).$

El vector velocidad es

$\vec{v}=\dot{\overrightarrow{OP}} = -R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}.$

Haciendo el producto vectorial obtenemos

$\vec{L}_O = mR^2\dot{\theta}\,\vec{k}.$

2.3 Ecuación de movimiento

El Teorema del Momento Cinético aplicado en el punto $O$ dice

$\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_O$

El término de la derecha es el momento neto respecto de $O$ de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Tenemos

$\begin{array}{l} \overrightarrow{OP}\times\vec{N} = \vec{0},\\ \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_k = kR^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k} = mgR\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}. \end{array}$

El primer primer vectorial es nulo pues los dos vectores son paralelos. En el segundo hemos usado que, según el enunciado, $k = m g / R$ . El momento neto es

$\vec{M}_O = \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_k = mgR\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}.$

La derivada del momento cinético es

$\dot{\vec{L}}_O = mR^2\ddot{\theta}\,\vec{k}.$

Por tanto la ecuación de movimiento es

$\ddot{\theta} = \dfrac{g}{R}\,\mathrm{sen}\,\theta.$

Partícula en semiaro circular con muelle: momento cinético (Ene. 2020 G.I.C.)

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2 Solución

2.1 Diagrama de fuerzas

2.2 Momento cinético

2.3 Ecuación de movimiento

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