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Problemas de Dinámica del punto (G.I.A.) II: Ecuaciones de movimiento. Teoremas de conservación

De Laplace

Contenido

1 Fuerza unidireccional

Una partícula de masa m está sometida a una fuerza constante \vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}. Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

2 Partícula en el campo gravitatorio terrestre

Una partícula de masa m se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie (\vec{g}=-g\,\vec{k}). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales

  1. \vec{r}(0)=\vec{0}, \vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}.
  2. \vec{r}(0)=h\,\vec{k}, \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}.
  3. \vec{r}(0)=\vec{0}, \vec{v}(0)=\vec{v}_0=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{k}.

3 Muelle vertical

Se tiene un muelle vertical de constante K y longitud natural l0. El sistema está sometido a la acción de la gravedad, \vec{g}=g\,\vec{\imath}_1.

  1. Se cuelga una masa m del extremo del muelle. ¿Cuál es la nueva elongación del muelle cuando se alcanza el equilibrio?
  2. Partiendo de la situación del apartado anterior, estiramos la masa de modo que la elongación del muelle aumenta una distancia L, y lo soltamos. Describe las fuerzas actuando sobre la masa justo después de soltarla.
  3. Aplicando la Segunda Ley de Newton calcula la posición de la masa como función del tiempo. ¿Que movimiento describe?

Nota : Podemos suponer que todos los desplazamientos del muelle son verticales.


4 Partícula ensartada en un aro circular

Se tiene un aro circular de radio R. Engarzado en él hay una masa m que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.

  1. Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuaciones que describen el movimiento de la masa en función del ángulo α de la figura.
  2. Soltamos la masa con velocidad inicial nula y un ángulo inicial \alpha_0\ll1. Encuentra la función α(t) que describe el movimiento de la masa.
  3. Supongamos ahora que nos dicen que la masa realiza un movimiento circular uniforme con frecuencia angular Ω. Encuentra la expresión de la fuerza de ligadura en función del ángulo θ. ¿Es constante? En este caso, ¿el vínculo es liso o rugoso?

5 Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle

Una masa m se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica k y longitud natural l0. La masa se encuentra a una altura h relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.

  1. Determina la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto B).
  2. ¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, kmin, para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
  3. Supón ahora que entre los puntos A y B hay una región de longitud d en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es μ, ¿cuál es el nuevo valor mínimo de k en el apartado anterior?
  4. Supongamos que k > kmin. En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcula la velocidad con la que la partícula vuelve al punto A y la altura a la que sube por la pendiente.
  5. Calcula numéricamente las magnitudes pedidas si m=100\,\mathrm{g}, h=50.0\,\mathrm{cm}, l_0=5.00\,\mathrm{cm}, μ = 0.200, d=10.0\,\mathrm{cm}, g=9.81\,\mathrm{m/s^2}.

6 Partícula deslizando sobre un disco

Una partícula P, de masa m, es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio R que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determine

  1. El punto en el que la partícula pierde contacto con el disco.
  2. La velocidad con la que impacta contra el suelo.

 

 

7 Partícula disparada en el interior de un aro

Una partícula P de masa m se desplaza por la cara interior de un aro fijo de radio R y centro O dispuesto en el plano vertical OXY, de manera que la posición de la partícula viene determinada en cada instante por el correspondiente valor del ángulo θ indicado en la figura. En el instante inicial la partÍcula se encuentra en la posición θ(0) = − π / 2, tras ser lanzada por un disparador consistente en un resorte de longitud natural l0 y constante recuperadora k, que previamente había sido comprimido una distancia d.

Nada impide que la partícula pueda separarse del aro, pero cuando están en contacto el rozamiento entre ambos cuerpos es despreciable. Por tanto, la correspondiente fuerza de reacción vincular puede expresarse en la base de las coordenadas polares \{\vec{u}_r\mathrm{;} \vec{u}_\theta\}, como \vec{N}=-N\!\ \vec{u}_r.

  1. Diagrama de fuerzas y descripción.
  2. Ecuaciones de movimiento.
  3. Energía mecánica del sistema.
  4. Momento cinético de la partícula.

8 Masa en plano inclinado con rozamiento, empujada por resorte

Una partícula material de masa m, se encuentra sobre una rampa de longitud indefinida cuya inclinación respecto del plano horizontal es α. El contacto entre la partícula y la rampa es de naturaleza rugosa, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento dinámico de valor μ. Partiendo del reposo en el punto más bajo de la rampa, O, la partícula asciende por ella empujada por un resorte de longitud natural l0 y constante recuperadora k.
  1. Obtenga la expresión que determina a qué distancia del extremo O se detiene la partícula.
  2. ¿A qué distancia su velocidad será máxima?

9 Cuerpo puntual sobre rampa con rozamiento y resorte

Un cuerpo que puede ser considerado como un punto material P de masa m, se encuentra en una rampa estrecha OA que forma con la horizontal un ángulo α tal que \,\mathrm{sen}\,\alpha=3/5 y \,\mathrm{cos}\,\alpha=4/5. Entre partícula y rampa se establece un contacto unilateral; además, el contacto es rugoso, estando caracterizado por un coeficiente de rozamiento seco, que aproximadamente tiene el mismo valor, tanto para el caso estático como para el dinámico

\mu_e\approx\mu_d=\mu. Un resorte de longitud natural b y constante recuperadora K conecta la partícula P con el extremo fijo de la rampa, O. Se sugiere utilizar un sistema de referencia cartesiano en que la rampa coincide con el eje OX y el eje OY es perpendicular a la superficie Σ de la misma. Los parámetros del sistema presentan valores tales que verifican la relación \,mg=Kb.


  1. Obtenga la posición de la rampa en que la partícula se mantendría en equilibrio, Peq = P(xeq,0), en el caso en que no hubiese rozamiento (μ = 0). Calcule el valor de la reacción normal del plano-rampa sobre la partícula.
  2. Analice el equilibrio del sistema en el caso de que exista rozamiento (\mu\neq 0), y obtenga la expresión algebraica que permite determinar el rango de posiciones de equilibrio de la partícula en la rampa. ¿Cuál es dicho rango para el caso μ = 1 / 2?
  3. Estando la partícula en el punto O, se aplica una fuerza \vec{F}_\mathrm{ext}, que en todo momento tiene la dirección y sentido opuesto al peso de la partícula para que ésta ascienda por la rampa; es decir, \vec{F}_\mathrm{ext}=F(x)\!\ [(3/5)\!\ \vec{\imath}+(4/5)\!\ \vec{\jmath}]. ¿Cómo deber ser F(x) para que la partícula se desplace a lo largo de la rampa con velocidad constante? ¿Cuál debe ser su valor máximo para que la partícula no pierda el contacto con la rampa?
  4. Calcule el trabajo realizado por la fuerza \vec{F}_\mathrm{ext} para llevar la partícula desde O hasta el punto P0 = P(x0,0) en que pierde el contacto con la rampa. ¿Y qué trabajo ha realizado la fuerza de rozamiento en el proceso?

10 Movimiento parabólico sobre un plano inclinado

Una partícula de masa m desliza sin rozamiento sobre un plano inclinado un ángulo α sobre la horizontal. La partícula parte desde el origen con una velocidad paralela a la base del plano y módulo v0, como se indica en la figura.

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula.
  2. Determina la velocidad de la partícula en cada instante.
  3. Determina la posición de la partícula en cada instante.
  4. Calcula el tiempo que tarda en llegar a la base del plano inclinado.
  5. ¿Qué tipo de curva describe la partícula?

11 Barra conectada a un deslizador

Un cuerpo pesado de masa m, que puede considerarse como una partícula material P, está unido a un extremo de una barra de longitud l y masa despreciable que tiene su otro extremo articulado en un punto fijo O. Partícula y barra están obligadas a permanecer en el plano vertical OXY , tal que el eje OX coincide con la dirección y el sentido de la acción de la gravedad. Además, hay un deslizador puntual D, de masa despreciable que puede moverse insertado en otra barra fija horizontal OA, también de longitud l y coincidente con el eje OX. Dos resortes idénticos de longitud natural nula y constante recuperadora k conectan dicho deslizador con la partícula P y con el extremo A de la barra horizontal fija. En primera aproximación, puede despreciarse el rozamiento entre el deslizador D y la barra OA.

  1. Determine la posición del deslizador en función del angulo θ que forma la barra OP con la vertical gravitatoria, y obtenga la expresión de las fuerzas reales y vinculares que actúan sobre la partícula P en función de dicho angulo.
  2. ¿Qué relación deben verificar los par ́metros k, l y m para que el sistema se encuentre en equilibrio en la posición dada por θ = π / 6?
  3. Si se considera que entre el deslizador y la barra existe rozamiento, caracterizado por un coeficiente de valor conocido μ, determine las expresiones matemáticas (inecuaciones) que establecen el rango de las posiciones de equilibrio del sistema.
  4. Obtenga las expresiones de las energías cinética y potencial de P en función de la variable geométrica θ y su derivada temporal.


12 Cuestión sobre teoremas de conservación

Una pequeña bolita P, de masa m, está insertada en un aro de centro O y radio R, fijado en el plano horizontal OXY. La partícula está sometida a la acción de la gravedad (en la dirección perpendicular al plano, \vec{g}=-g\!\ \vec{k}) y a la de un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora k, que tiene un extremo fijo en el punto de circunferencia de coordenadas A( − R / 2,0,0). El rozamiento entre la bolita y el aro es despreciable. Para el sistema descrito, responda razonadamente a las siguientes cuestiones:
  1. ¿Se conserva la energía mecánica?
  2. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto O?
  3. ¿Se conserva el momento cinético respecto del punto A?

13 Partícula sometida a la acción de dos muelles

Una partícula P, de masa m, se mueve en el plano horizontal sometida a la acción de dos resortes elásticos ideales e idénticos, de constante k y longitud natural nula. Los puntos de anclaje son C( − d,0) y D(d,0), respectivamente

  1. Escribe la ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula.
  2. Si las condiciones iniciales son \vec{r}(0)=a\,\vec{\imath} y \vec{v}(0)=v_0\,\vec{\jmath}, encuentra las expresiones que dan la posición y la velocidad de la partícula en todo instante de tiempo.
  3. Determina, para todo instante de tiempo, el momento cinético, \vec{L}_O, de la partícula P respecto al origen de coordenadas O, así como su energía mecánica, E. ¿Qué teoremas de conservación explican las propiedades de estas magnitudes en este problema?

14 Nave en órbita alrededor de la Tierra

Una pequeña nave espacial de masa m, que en primera aproximación puede considerarse como cuerpo puntual P, se encuentra en las inmediaciones de un planeta lejano de radio Rp y masa M, de manera que la energía potencial gravitatoria de la nave en una determinada posición es:

U_g(r) = -\dfrac{mMG}{r}

siendo |\overrightarrow{OP}| la distancia desde el centro O del planeta hasta la nave P, y G la constante gravitatoria universal. Inicialmente, la nave describe una órbita circular de radio ro, a una altura ho = Rp / 12 sobre la superficie del planeta. Sometida exclusivamente a la acción gravitatoria del planeta, la nave orbita a velocidad constante vo. En un determinado instante, la nave pone en marcha su motor para ascender a otra órbita circular de radio rf, concéntrica y coplanaria a la anterior, que se encuentra a una altura hf = Rp / 10, respecto de la superficie del planeta. Una vez estabilizada en la nueva órbita, la nave la recorrerá con velocidad constante vf, sólo sometida a la fuerza de gravedad ejercida por el planeta. La nave cuenta con un sofisticado motor electrostático alimentado por energía nuclear, que permite que la masa m permanezca constante.

  1. Encuentre la relación que verifican los módulos de las velocidades en las órbitas inicial y final.
  2. Si, considerando la nave como partícula, ΔUg es su incremento de energía potencial gravitatoria al pasar de la órbita r = ro a la órbita r = rf, y ΔK es la diferencia de energía cinética entre las dos órbitas, ¿Cuál es la relación entre el trabajo realizado por el motor, Wmot en el proceso de cambio de órbita y ΔUg y ΔK?
  3. Para el cambio de órbita, la nave sigue una trayectoria plana caracterizada por la ecuación en coordenadas polares Γ:r = r(θ), y según la ley horaria r(t), expresadas a continuación

\Gamma: r(\theta) = r_o\,e^{\theta}; \qquad r(t) = r_o\,(1+Ct), \, \mathrm{con}\quad C = \dfrac{v_o}{\sqrt{2}r_o}

Si la fuerza ejercida por el motor durante dicho cambio de órbita se expresa en la base de las coordenadas polares, \vec{\Phi}_{\mathrm{mot}} = \Phi_r\,\vec{u}_r +\Phi_{\theta}\,\vec{u}_{\theta} , ¿cómo ha de ser la ley horaria verificada por Φr para que la nave realice el movimiento descrito? </p>

  1. Durante el cambio de órbita, ¿qué le ocurre al módulo del momento cinético de la nave, \vec{L}_O , medido desde el centro del planeta: su valor es constante o varía durante el movimiento?

15 Nave espacial alejándose de un planeta

Una nave espacial que --en primera aproximación-- se considerará como partícula material P de masa m constante, se mueve en las proximidades de un planeta de masa M y centro O, sometida a la acción gravitatoria de éste,

\vec{F}_g(r)=-\frac{GMm}{r^2}\vec{u}_r\mathrm{;} \;\;\mathrm{con}\,\;\; \overrightarrow{OP}=\vec{r}(t)=r\!\ \vec{u}_r\mathrm{,}

donde r=|\vec{r}|, es la distancia que separa la nave del centro O, y G es la constante de gravitación universal.

Con anterioridad al instante que tomaremos como t = 0, la nave orbita en torno al planeta con los motores apagados, recorriendo la órbita circular Λ, de radio R0 y centro en O, con velocidad \vec{v}=v_0\!\ \vec{u}_\theta, siendo su módulo el valor constante \, v_0=\sqrt{GM/R_0}. En el instante t = 0, cuando la nave se halla en la posición de Λ correspondiente a θ = 0, los motores se encienden súbitamente. En instantes posteriores, t\geq 0^+, la nave se aleja del planeta siguiendo la trayectoria espiral Γ, contenida en el mismo plano OXY que la órbita circular Λ. Además, la nave recorre dicha trayectoria de manera que su momento cinético respecto del origen O permanece constante. Las expresiones en coordenada polares de la trayectoria Γ y de la velocidad instantánea \vec{v}(t) de la nave cuando recorre dicha trayectoria son:

\Gamma: \; \vec{r}(\theta)=r(\theta)\!\ \vec{u}_r\mathrm{,}\quad \mathrm{con}\;\; r(\theta)= \frac{2\pi R_0}{2\pi-\theta}\mathrm{;}\qquad\vec{v}[\theta(t)]=\frac{v_0}{2\pi}\bigg\{ \vec{u}_r+\bigg[2\pi-\theta(t)\bigg]\vec{u}_\theta\bigg\}

con \vec{u}_r=\vec{u}_r(\theta)\, y \,\vec{u}_\theta=\vec{u}_\theta(\theta).

  1. Calcule el impulso mecánico instantáneo \vec{\mathcal{P}} (percusión) ejercido por los motores al encenderse de forma súbita en el instante t = 0, para que la nave inicie la maniobra de alejamiento a partir de t = 0 + .
  2. Obtenga la expresión de la energía mecánica de la nave en función del tiempo, E(t), antes y después de ponerse en marcha los motores.
  3. Obtenga la potencia desarrollada por los motores cuando la nave recorre la trayectoria espiral $\Gamma$, expresada en función de la posición. Demuestre que dicha potencia alcanza su valor máximo en la posición correspondiente a r = 3R0 / 2. ¿Qué trabajo han de realizar los motores para llegar a dicho punto?


16 Sonda espacial sometida a la atracción gravitatoria de un planeta

Una sonda espacial, que se considera como partícula material P de masa m se dirige a un planeta de masa M, sometida exclusivamente a la acción gravitatoria de éste. El planeta está situado en el origen O de un sistema de referencia inercial OXYZ tal que la trayectoria Γ seguida por la sonda está contenida en el plano OXY. Si se utilizan las coordenadas polares para indicar la posición de la sonda/partícula en cada instante, la trayectoria Γ seguida por la partícula en su movimiento de aproximación al planeta y su posterior alejamiento,queda descrita por la siguiente ecuación:

\overrightarrow{OP}= \vec{r}(t)=r(t)\!\ \left[\cos \theta (t)\!\ \vec{\imath}+ \mathrm{sen}\!\ \theta(t)\!\ \vec{\jmath}\right]=r(t)\!\ \vec{u}_r (t)\quad \Longrightarrow\quad \Gamma: r(\theta)=\frac{2\!\ b}{1- 2\!\ \mathrm{sen}\!\ \theta}\mathrm{,}\quad \mathrm{con}\;\; \frac{5\pi}{6}<\theta< 2\pi+\frac{\pi}{6}

Cuando se encuentra a distancias muy grandes del planeta (r\longrightarrow\infty), la sonda sigue trayectorias prácticamente rectilíneas y paralelas a las rectas θ = 5π / 6, cuando se aproxima al planeta), y θ = π / 6 cuando se aleja. En consecuencia, cuando la sonda se aproxima al planeta, pero aún se encuentra a una gran distancia de éste, la velocidad instantánea de aquélla, \, \vec{v}(\theta\approx5\pi/6), tiene la dirección y sentido del vector \vec{u} =(1/2)\!\ \big[\sqrt{3}\!\ \vec{\imath}-\vec{\jmath}\big] (es decir, paralela a la recta correspondiente a \theta=5\!\ \pi/6); además, su módulo es \, v_0=\sqrt{3GM/2b}.

Por otra parte, la sonda alcanza su máxima aproximación al planeta en el instante tm, cuando se encuentra en la posición θ(tm) = 3π / 2, donde se verifica que la velocidad de la sonda es perpendicular al radio-vector posición.

  1. Obtenga una expresión para el módulo de la velocidad (celeridad) de la sonda, como una función de su posición, dada por el valor del ángulo θ, |\vec{v}|=v(\theta).
  2. Determine la dirección, el sentido y el módulo del momento cinético de la partícula respecto de O (magnitud vectorial \vec{L}_O) en un instante t cualquiera, en el cuál la sonda ocupa la posición dada por θ(t).

 

17 Partícula con trayectoria espiral

Una partícula P de masa m se mueve en el plano OXY describiendo una trayectoria espiral Γ, cuya ecuación en coordenadas polares {r,θ} es:

\Gamma:\!\ r(\theta)=r_0\!\ e^\theta\mathrm{,}\;\;\mathrm{para}\;\;\theta\geq 0

de manera que r(t) es la distancia medida desde el origen O del sistema de referencia, a la posición P(t) que ocupa la partícula en un cierto instante, y θ(t) el ángulo (medido en radianes) que en dicho instante forma el radio vector \vec{r}=\overrightarrow{OP}(t) con el eje OX. Además, el movimiento de la partícula es tal que su momento cinético respecto de O es un vector constante de módulo conocido, L0.

  1. Obtenga la expresión \vec{v}(\theta) del vector velocidad instantánea de la partícula P como una función de la posición, dada por el ángulo θ. Se sugiere utilizar la base de las coordenadas polares, \{\vec{u}_r\mathrm{;}\, \vec{u}_\theta\}.
  2. Obtenga la expresión del vector aceleración instantánea de la partícula en función de su posición, \vec{a}(\theta). ¿Qué propiedades tienen la dirección, el sentido y el módulo de la fuerza resultante que actúa sobre la partícula?
  3. Obtenga las componentes intrínsecas de la velocidad (módulo) y de la aceleración. Determine las direcciones tangente y normal a la trayectoria (en términos de las base de las coordenadas polares), así como el radio de curvatura de la trayectoria en cada punto.
  4. Sabiendo que en el instante t = 0 la partícula se encuentra a una distancia r0 del punto O, calcule su energía cinética inicial ¿Se conservará durante el movimiento? Obtenga la ley horaria θ(t) que describe cómo se mueve la partícula.

18 Otros ejercicios de Dinámica del Punto (II)

Los siguientes ejercicios pueden considerarse de un nivel más avanzado, debido a que su resolución puede presentar una cierta complejidad matemática.

19 Partícula en un pozo de potencial

Una partícula P, de masa m, realiza un movimiento rectilíneo sobre la parte positiva del eje OX. La partícula está sometida a una fuerza que tiene la forma

\vec{F}(x) = \left\{ \begin{matrix} (m\,L\,k/x^3)\,\vec{\imath}&\quad&x< L\\ -(m\,k/x^2)\,\vec{\imath}&\quad&x>L \end{matrix} \right.

siendo k una constante conocida.

  1. Determina la energía potencial de la partícula en función de su coordenada x (considerando que es nula en el infinito y exigiendo su continuidad en x = L) y represéntala gráficamente.
  2. Sabiendo que la partícula inicia su movimiento desde el reposo en el punto P0 de coordenada x = 2L, determina su energía mecánica.
  3. ¿En qué otro punto (de la región x < L) la partícula se detiene momentáneamente (punto de retorno)? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar desde x = L a ese punto de retorno?

20 Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante

Una partícula de masa m se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme ω en torno a un eje perpendicular al del tubo, de forma que la posición de la partícula puede describirse como

\begin{matrix} x(t) = r(t)\,\cos(\omega t)&\qquad\qquad& y(t) = r(t)\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \end{matrix}
  1. Halla la ecuación diferencial que cumple la función r(t) sabiendo que el vínculo entre la partícula y el tubo es liso.
  2. Comprueba que
r(t) = A\,e^{\omega t}

es una solución de la ecuación para r(t).

  1. Para esta solución particular
    1. Calcula la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
    2. Halla la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula. Calcula el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de r = b a r = 2b.
    3. Calcula el incremento de la energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y comprueba que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

21 Partícula en tubo con resortes

Un tubo estrecho AB de longitud 2l y de masa despreciable, contenido en todo instante en el plano horizontal fijo OXY, gira con velocidad angular constante alrededor de su centro O, de manera que el ángulo que forma el tubo con la dirección OX verifica la ley horaria \theta(t)=\omega\!\ t. En el interior del tubo hay una partícula P de masa m, que puede moverse sin rozamiento apreciable. Sendos resortes ideales, ambos de longitud natural nula y constante recuperadora de valor k, conectan la partícula con los extremos A y B del tubo.
  1. Escriba las expresiones de los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula en función de la variable r y sus derivadas, utilizando la base de las coordenadas polares \{\vec{u}_r\mathrm{,}\vec{u}_\theta\}. Exprese también las distintas fuerzas que actúan sobre la partícula.
  2. Aplique las leyes de la Dinámica para formular las ecuaciones de movimiento del sistema. A la vista de la ecuación diferencial que describe el comportamiento de r(t), indique el tipo de movimiento que realiza la partícula a lo largo del tubo para los siguientes casos: (a) \displaystyle\omega=\omega_0; \quad (b) \omega=\sqrt{2}\!\ \omega_0, y (c) \omega=\sqrt{3}\!\ \omega_0, siendo \omega_0=\sqrt{k/m}.
  3. Considérese la situación particular en que el valor de la velocidad angular es \omega=\sqrt{2}\!\ \omega_0 -caso (b)-, y en el instante inicial (t = 0) la partícula se halla en el punto O con una velocidad cuyo módulo vale v0. Obtenga la ley horaria para la variable r(t), así como la fuerza de reacción vincular que actúa sobre la partícula.
  4. Obtenga la expresión horaria E(t) para la energía mecánica de la partícula ¿Se conserva E(t)? ¿Por qué?


22 Ecuación del movimiento armónico simple

Dada la ecuación ecuación de movimiento

m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x
  1. Demuestra que la función
x = A \cos\left(\omega t+\phi\right)

es solución. Empleando relaciones trigonométricas, deduce la relación entre las constantes {A,φ} y las constantes {a,b} de la solución general

x=a\cos(\omega t) + b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)

Expresa A y φ en función de la posición y la velocidad iniciales, x0 y v0.

  1. Calcula la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
  2. Demuestra que la cantidad
E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2

no depende del tiempo. ?`Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?

  1. Demuestra que x = ejωt, con \mathrm{j}=\mathrm{i}=\sqrt{{-1}}, la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestra la relación
\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)


23 Bloque sobre plano en movimiento

Una partícula puntual de masa m se mueve sobre un plano inclinado. A su vez, el plano gira de modo que el ángulo con la horizontal es θ(t) = ωt. Sobre la masa actúa además la gravedad \vec{g}. El contacto entre la partícula y el plano es liso.

  1. Encuentra la expresión de la ecuación diferencial que cumple la distancia de la partícula al origen de coordenadas, ρ(t), así como la expresión que da el valor de la fuerza de reacción vincular \vec{\Phi}(t).
  2. Demuestra que, para los valores apropiados de las constantes α y K, la expresión siguiente es solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son esos valores de α y K?
    \rho(t) = A\,\cosh(\alpha t) + B\,\mathrm{senh}\,(\alpha t) + K\,\mathrm{sen}\,(\omega t)
  3. Si en el instante inicial tenemos ρ(0) = 0 y \dot{\rho}(0)=v_0 encuentra cuánto valen las constantes A y B de la expresión anterior.
  4. ¿Se conserva la energía mecánica del sistema? Razona la respuesta.
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