Primer Principio de la Termodinámica

De Laplace

1 Introducción

El principio cero de la termodinámica permite caracterizar los sistemas que se encuentran en equilibrio térmico, a través de la definición de una propiedad común que es la temperatura.

Una vez establecida esta magnitud, se trata de describir las interacciones entre un sistema y su entorno cuando se encuentran a la misma o diferente temperatura. Estas interacciones conllevan la transferencia de energía, que se manifiesta en un cambio en el estado del sistema.

Las propiedades relevantes en el intercambio energático son tres:

Calor

Trabajo

Energía interna

Estas tres magnitudes se relacionan a través del primer principio de la termodinámica.

2 Calor

Artículo completo: Calor

Definimos el calor, $Q$ , como la transferencia de energía debida a una diferencia de temperaturas.

Si colocamos un sistema en contacto con un entorno a diferente temperatura, apreciamos que se produce un cambio en el sistema hasta que éste alcanza el equilibrio térmico con el entorno, momento en el que deja de evolucionar. En ese proceso intermedio hasta que se llega al equilibrio se ha transferido energía (del entorno hacia el sistema o al revés) en forma de calor.

El calor, por tanto, no es algo que se tiene o se almacena, sino que describe un proceso.

El calor es una función dependiente del camino, esto es, si tenemos un sistema que evoluciona desde un estado A a uno B por dos caminos diferentes, el calor intercambiado en cada uno será diferente, en general.

Para el calor se toma el criterio de signos siguiente:

Si el calor va dese el entorno hacia el sistema se considera positivo.

Si el calor va del sistema hacia el entorno se toma como negativo.

Cuando se estudia la termodinámica al nivel de las partículas que componen un sistema el calor está asociado a la transferencia de energía en grados de libertad microscópicos, esto es, corresponde a un cambio en la energía cinética o potencial de moléculas individuales, de forma que aunque la energía del sistema se incremente (o disminuya) lo hace de forma desorganizada.

Por tratarse de una transferencia de energía, el calor se mide en julios (J), si bien otras unidades permanecen en uso, como la caloría, siendo

$1\,\mathrm{cal} = 4.184\,\mathrm{J}$

También se usa, especialmente en biología y en referencia a la alimentación, la Caloría (o caloría grande), que es en realidad una kilocaloría

$1\,\mathrm{Cal} = 1\,\mathrm{kcal} = 4.184\,\mathrm{kJ}$

Cuando la frontera de un sistema es tal que por ella no puede pasar calor, se dice que la pared es adiabática. Si sí lo permite, se denomina pared diaterma.

Del mismo modo, un proceso en el que no se intercambia calor entre el sistema y el entorno, se denomina adiabático.

2.1 Transmisión de calor

El calor se transmite por tres mecanismos principales.

Conducción: A través de la transmisión de los movimientos moleculares entre sustancias contiguas. Cada sustancia pura se caracteriza por una conductividad calorífica, $k$ , de forma que el flujo de calor a través de un bloque de sección transversal $A$ y longitud $L$ entre cuyos extremos hay una diferencia de temperaturas $Δ T$ es igual a

$\dot{Q}=\frac{kA}{L}\Delta T$

fluyendo el calor del extremo caliente al más frío, de acuerdo con el Segundo Principio de la Termodinámica.

Convección: se produce cuando hay movimiento de los sistemas, de forma que partes calientes se desplazan a regiones más frías, aumentando la eficiencia de la transmisión de calor. El ejemplo típico son las corrientes de convección en las que el aire caliente de la superficie asciende, siendo reemplazado por aire frío.

Espectro de radiación del cuerpo negro

Radiación: Todo cuerpo, por estar a una cierta temperatura, emite radiación electromagnética, de forma que la energía emitida por unidad de superficie va como la cuarta ptencia de la temperatura (ley de Stefan-Boltzmann)

$\frac{\dot{Q}}{S}=\sigma T^4$ $\sigma=5.670400(40)\times 10^{-8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^2\mathrm{K}^4$

La radiación emitida posee una cierta distribución en frecuencias (conocida como radiación del cuerpo negro), de forma que la longitud de onda del máximo de emisión cumple la denominada ley de Wien:

$\lambda_\mathrm{max}=\frac{b}{T}$ $b=2.8977685(51)\times 10^{3}\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}$

3 Trabajo

Artículo completo: Trabajo en termodinámica

El trabajo en termodinámica es una generalización del concepto de trabajo definido en mecánica.

Supongamos el denominado experimento de Joule, en el que tenemos un recipiente de paredes adiabáticas en cuyo interior se encuentra una cierta cantidad de agua y dentro de esta una rueda de paletas. El molinillo está conectado a un eje.

El el extremo del eje podemos colocar un carrete de hilo del cual pende una cierta masa. Cuando la masa se libera y se deja caer por la acción de la gravedad, la rueda de paletas agita el agua y como consecuencia observamos un cambio de su estado (que se manifiesta en que su temperatura aumenta).

Puesto que la transferencia de energía no se debe a una diferencia de temperaturas, se dice que estamos realizando trabajo sobre el sistema. Concretamente, es un trabajo mecánico de origen gravitatorio.

Alternativamente, en lugar de una carrete y una pesa, podemos “darle cuerda” al eje, uniéndolo a un resorte de torsión, que se enrolla, cuando se libera el resorte, hace girar al eje y el molinillo, agitando el agua. De nuevo realizamos trabajo sobre el sistema, esta vez de origen elástico.

Otra posibilidad consiste en conectar el eje a un motor eléctrico, alimentado desde la red. Considerando el motor como parte del sistema, vemos que lo que introducimos en él es trabajo de origen eléctrico.

También podemos usar un motor a pilas, o un émbolo en un pistón conectado a un cigüeñal, etc. En todos los casos introducimos energía en el sistema en forma de trabajo.

Definimos entonces el trabajo, $W$ , como la transferencia de energía no asociada a una diferencia de temperaturas.

Como con “calor” la palabra “trabajo” describe un proceso. El trabajo no se almacena, ni se tiene. Simplemente se realiza. Lo que se almacena es la energía.

El trabajo es una magnitud dependiente del camino. Dos procesos diferentes que partan del mismo estado inicial y lleguen al mismo estado final, pero por caminos diferentes, llevarán aparejados, en general, trabajos de diferente magnitud.

Como criterio de signos tomamos el establecido como estándar por la IUPAC:

Si el trabajo se realiza por el entorno sobre el sistema, se considera positivo.

Si el trabajo lo realiza el sistema sobre el entorno, se toma como negativo.

Hay que tener mucho cuidado, porque este criterio no es universal y de hecho, en muchos libros de termodinámica aplicada emplean justamente el opuesto. La razón es que el concepto de trabajo se desarrolló en el diseño y estudio de las máquinas, en las que lo que se desea es que el trabajo lo realice el sistema sobre el entorno.

Siendo el trabajo una forma de transferencia de energía, se mide en julios (J). Alternativamente, en sistemas de gases aparece una unidad, la atmósfera·litro, igual a

$1\,\mathrm{atm}\cdot\mathrm{l}=101.325\,\mathrm{J}$

Aparte, y dependiendo del contexto, pueden aparecer diferentes unidades, como el ergio, el electrón-voltio o la BTU.

En una visión microscópica de los sistemas, el trabajo está asociado a los grados de libertad macroscópicos, esto es, al movimiento coordinado de muchas partículas.

Por ejemplo, supongamos un fluido que se empuja con un pistón. El resultado es que todas las moléculas incrementan su velocidad en la dirección y sentido en que se mueve el émbolo. Por contra, si al mismo fluido se le comunica calor, aunque cada molécula aumenta su velocidad, en promedio, la dirección en que lo hacen es aleatoria, no habiendo ningún tipo de desplazamiento conjunto.

3.1 Trabajo de expansión

Un caso particular importante es aquél en el que el trabajo sobre el sistema se realiza modificando su volumen mediante la aplicación de una presión. En este caso, el trabajo en un incremento diferencial de volumen es

$\delta W = -p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V$

donde el signo negativo se debe al criterio de signos elegido. Si el sistema se comprime, el trabajo es positivo, pero el diferencial de volumen es negativo. El diferencial de trabajo se expresa con la letra $δ$ para indicar que el trabajo no es una función de estado, esto es, no se trata de la variación de nada, simplemente representa una cantidad pequeña de trabajo.

La presión que aparece en la expresión anterior es la aplicada desde el exterior, que no coincidirá, en general, con la que puede tener el sistema (caso que se trate de un fluido). Es más, en general ni siquiera existirá una única presión dentro del sistema.

En el caso particular de un proceso cuasiestático, en el que el sistema evoluciona a través de estados de equilibrio, si existe una presión y además coincidirá con la aplicada, por lo que el trabajo podrá calcularse como

$\delta W = -p\,\mathrm{d}V$ (proceso cuasiestático)

El trabajo total en un proceso de expansión o compresión será

$W = - \int_{V_i}^{V_f}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V$

y el caso de un proceso cuasiestático

$W = -\int_{V_i}^{V_f}p\,\mathrm{d}V$ (proceso cuasiestático)

Gráficamente, el trabajo en un proceso cuasiestático equivale al área bajo la curva $p (V)$ , entre el volumen inicial y final, con signo positivo si es una compresión y negativo, si es una expansión.

3.2 Trabajo eléctrico

Otro caso particular importante es el trabajo realizado por una fuente de tensión. Ésta fuente mueve cargas en el sistema, variando su tensión eléctrica en una cantidad $\mathcal{E}$ , realizando un trabajo diferencial

$\delta W = \mathcal{E}\,\mathrm{d}Q$

siendo el trabajo total

$W = \int_{Q_i}^{Q_f}\mathcal{E}\,\mathrm{d}Q$

Si lo que se conoce es la cantidad de corriente que pasa por la fuente, este trabajo es igual a la integral de la potencia eléctrica respecto al tiempo

$W = \int_{t_i}^{t_f}\mathcal{E}\,I\,\mathrm{d}t$

4 Primer principio de la termodinámica

4.1 Enunciado

Supongamos un sistema, como el del experimento de Joule con un tanque de agua y una rueda de paletas, que se aísla mediante paredes adiabáticas, de forma que no puede intercambiar calor con el entorno.

Se anota entonces el estado inicial del sistema (presión, temperatura, volumen, o las magnitudes que hagan falta). Se realiza un trabajo sobre este sistema, por ejemplo, soltando una pesa de un carrete, y se anota tanto el estado final como el trabajo realizado para llegar a él (en el caso de la pesa sería $W = m g h$ ).

Se quita el aislamiento y se vuelve a llevar el sistema al estado inicial. Se vuelve a aislar y se realiza trabajo, pero ahora de otro tipo, por ejemplo, calentando el sistema con una resistencia eléctrica. Cuando se llega al mismo estado final, se anota el trabajo realizado.

Se repite el proceso empleando otras formas de trabajo: elástico, químico, mediante un sistema de aire comprimido,...

El resultado empírico es que, si se parte siempre del mismo estado inicial y se llega al mismo estado final, el trabajo necesario es exactamente el mismo.

Esto constituye el Primer Principio de la Termódinámica:

El trabajo en un proceso adiabático es independiente del camino, sólo depende de los estados inicial y final

Recordemos que, en general, el trabajo sí depende del camino. Solo en los procesos adiabáticos no lo hace.

Esto es un principio, pues no se deduce, sino que se induce de la experiencia. No se ha encontrado ningún contraejemplo de la afirmación anterior.

4.2 Energía interna

Artículo completo: Energía interna

Si el trabajo adiabático es independiente del camino, podemos emplearlo para definir una función de estado, que denominaremos energía interna, $U$ .

Para ello, partimos de un cierto estado de referencia O (con variables de estado $p 0$ , $V 0$ , $T 0$ , al cual asignamos una cierta energía $U 0$ . Para hallar la energía de otro estado A simplemente calculamos el trabajo adiabático necesario para llegar a él desde el estado de referencia

$U(p,V,T,\ldots) = U_0(p_0,V_0,T_0,\ldots)+ W^\mathrm{ad}_{O\to A}$

Esta energía está perfectamente definida como función de estado, ya que podemos elegir cualquier camino o cualquier tipo de trabajo para ir de O a A, que siempre resultará la misma energía interna en A.

Si ahora queremos calcular la diferencia de energías entre dos estados A y B, nos basta con imaginar un proceso que lleve de uno a otro pasando por O. Tenemos entonces

$W^\mathrm{ad}_{A\to B} = W^\mathrm{ad}_{A\to O} + W^\mathrm{ad}_{O\to B}=-W^\mathrm{ad}_{O\to A} + W^\mathrm{ad}_{O\to B}$

pero los dos trabajos del segundo miembro son justamente las diferencias de energía interna con el estado de referencia, por tanto

$W^{ad}_{A\to B} = U(B) - U(A) = \Delta U$

Por ello, el Primer Principio equivale a afirmar:

Existe una función de estado, llamada energía interna, cuya variación la da el trabajo en un proceso adiabático que conecte dos estados.

En particular si tenemos un sistema aislado sobre el cual no se realiza trabajo alguno

$W^{ad}=0\,$ $\Rightarrow$ $\Delta U=0\,$

lo cual es una afirmación de la ley de conservación de la energía, equivalente al primer principio

La energía interna de un sistema aislado sobre el que no se realiza trabajo permanece constante.

4.3 Interpretación de la energía interna

En mecánica, el trabajo realizado sobre un sistema de partículas se emplea en aumentar la energía mecánica del sistema, bien incrementando la energía cinética de las partículas, bien la energía potencial, bien una combinación de ambas.

El concepto de energía interna en termodinámica es una generalización del de energía mecánica. El primer principio establece que el trabajo adiabático se emplea en aumentar la energía interna, que por tanto, cinluye todas las formas posibles de almacenar energía:

Cinética, en forma de movimiento colectivo (que percibimos como movimiento del sistema) o en forma de agitación de las partículas (que apreciamos como temperatura)
Potencial, comunicando energía a las interacciones entre partículas. Por ejemplo, para el caso de un sólido, podemos modelar la estructura cristalina como una red de partículas unidas por osciladores armónicos cuya energía cambia al comprimirse o extenderse la red.
Eléctrica, si el sistema posee cargas que se separan o acercan, o efectos capacitivos.
Electromagnética, si el sistema incluye efectos inductivos, o de radiación en forma de ondas electromagnéticas.
Química, si como resultado del trabajo cambia la composición química del sistema, resultando unos productos que, por su estructura electrónica, tienen mayor energía que la de los reactivos originales.
Nuclear,
…

Por supuesto, igual que se almacena energía interna como resultado del trabajo sobre el sistema, también puede liberarse ésta, obteniéndose un trabajo que el sistema realiza sobre el entorno.

4.4 Caso no adiabático

Supongamos ahora que se vuelve a realizar el experimento de los diferentes trabajos anteriores, pero sobre un sistema que no está aislado adiabáticamente. El resultado es ahora que ya el trabajo realizado no coincide con la variación de la energía interna.

$W \neq \Delta U\,$

Esto no quiere decir que en un proceso general no se pueda definir la energía interna, ya que ésta, al ser una función de estado, está perfectamente definida en cualquier caso. Lo que ocurre es que hay que añadir un término a la ecuación.

Lo que falta en este caso es la transferencia de energía en forma de calor. De esta forma, la expresión del Primer Principio queda

$Q + W = \Delta U\,$

Esta expresión no es más general que la que que dimos antes. La anterior nos sirve para definir la energía interna y nos da un procedimiento para calcularla. Esta nueva ecuación nos permite calcular el calor, conocidos el trabajo y la variación de energía interna. Otra forma equivalente de escribirlo sería

$Q = W^\mathrm{ad}-W\,$

4.5 Potencia y flujo de calor

Si en lugar de un proceso finito consideramos uno diferencial, el primer principio se escribe

$\delta Q + \delta W = \mathrm{d}U\,$

donde la diferencia en la notación refleja el que el calor y el trabajo son funciones del camino, mientras que la energía interna es función de estado.

Si este proceso diferencial transcurre en un tiempo $d t$ , podemos relacionar los ritmos con los que se realiza el trabajo, se transfiere el calor y varía la energía interna

$\frac{\delta Q}{\mathrm{d}t} + \frac{\delta W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}$

o, de forma, más compacta

$\dot{Q} + \dot{W} = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}$

donde $\dot{W}$ es la potencia, esto es, el trabajo realizado en la unidad de tiempo. $\dot{Q}$ es el flujo de calor, equivalente al ritmo con el que el calor entra en el sistema.

5 Procesos cíclicos

Supongamos un proceso cíclico, en el cual el sistema evoluciona de manera que pasado un cierto tiempo retorna a su estado inicial. En este proceso tendremos que el trabajo, el calor y la variación total de la energía interna vendrán dados por

$\oint \delta W + \oint \delta Q = \oint \mathrm{d}U$

pero, por ser la energía interna una función de estado, su valor al comienzo y al final del ciclo será el mismo (por serlo el estado). Por ello

$\oint \delta Q=-\oint \delta W$

En otras palabras, que el calor que entra en el sistema equivale al trabajo realizado por el sistema sobre el entorno. Este es el principio de las máquinas térmicas, que transforman el calor en trabajo (por ejemplo, una máquina de vapor, como las que se encuentran en las centrales nucleares).

También se aplica la igualdad anterior para el caso en el que el calor sea negativa, entonces podremos escribir

$\oint \delta W=-\oint \delta Q$

que aunque matemáticamente es lo mismo, nos dice que para expulsar una cierta cantidad de calor al entorno (por ejemplo, en un refrigerador), se necesita realizar la misma cantidad de trabajo.

En una máquina, como un motor de explosión, un ciclo completo puede realizarse en muy poco tiempo (por ejemplo, a 3000rpm), por lo que en lugar del trabajo y el calor netos, puede hablarse de los ritmos con el que entran el sistema

$\dot{Q}+\dot{W}=0$

La aplicación del primer principio a procesos cíclicos es lo que prohíbe el llamado móvil perpetuo de primera especie, según el cual una máquina, operando en un ciclo, realizaría un trabajo sin coste alguno.

6 Capacidades caloríficas

6.1 A volumen constante

Supongamos un proceso en el que se comunica calor a un sistema rígido, sobre el que no se realiza trabajo alguno. En este caso

$W=0\,$ $\Rightarrow$ $Q = \Delta U\,$

Todo el calor que entra en el sistema se emplea en aumentar la energía interna, lo que se manifiesta normalmente en un aumento de su temperatura. Inversamente, si el calor sale del sistema, la temperatura se reduce.

No siempre, una entrada de calor implica un aumento de temperatura. Cuando se produce un cambio de fase (como la fusión del hielo), la entrada de calor no produce aumento de temperatura. Más adelante consideraremos ese caso.

Si la cantidad de calor que entra es pequeña, el aumento de temperatura es proporcional a él, lo que se puede escribir como

$\delta Q = C_v \,\mathrm{d}T$

siendo $C v$ la capacidad calorífica a volumen constante del sistema.

Puesto que en este proceso toda el calor se invierte en un aumento de la energía interna

$C_v \,\mathrm{d}T = \mathrm{d}U$

lo que permite definir la capacidad calorífica $C v$ como

$C_v = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$

Esta definición no es muy práctica como herramienta para averiguar $C v$ (que suele ser un valor medido experimentalmente), pero muestra que esta cantidad es una función de estado y tiene un valor único dadas las variables de estado del sistema. No depende del camino, aunque para definirla se halla empleado la transferencia de calor en un proceso concreto.

6.1.1 Calor específico

Cuando el sistema se compone de una sustancia pura, la capacidad calorífica es una propiedad extensiva, proporcional a la masa de la sustencia. Se define entonces el calor específico (a volumen constante) como

$c_v = \frac{C_v}{M}$

El calor específico es una propiedad de cada sustancia, con un valor que, en general será diferente para cada presión y temperatura. Su valor suele aparecer tabulado, a partir de medidas experimentales, en los diferentes libros y referencias.

En términos del calor específico, el calor que entra en un sistema a volumen constante se expresa

$Q = \Delta U = m c_v \,\Delta T$

6.1.2 Capacidad calorífica molar

En numerosas situaciones, especialmente cuando se trabaja con sustancias gaseosas, se emplea, en vez de la masa, el número de moles de la sustancia. En este caso, es útil definir una nueva cantidad intensiva, conocida como capacidad calorífica molar, como

$\overline{c}_v = \frac{C_v}{n}$

de forma que la relación entre calor a volumen constante, energía interna y aumento de temperatura se expresa

$Q = \Delta U = n\overline{c}_v\,\Delta T$

La capacidad calorífica molar y el calor específico son proporcionales, pero no iguales, por lo que hay que ser cuidadoso en la distinción

$mc_v = n\overline{c}_v$ $\Rightarrow$ $\overline{c}_v = P_m c_v$

siendo $P m$ el peso molecular de la sustancia.

Gases ideales: En el caso de las sustancias puras gaseosas, la capacidad calorífica molar vale, con bastante aproximación:

Para los cases monoatómicos (He, Ne, Ar,...): $\overline{c}_v \simeq (3/2)R$

Para los cases diatómicos (N₂, O₂,...): $\overline{c}_v \simeq (5/2)R$

El aire, compuesto en un 99% de gases diatómicos, también verifica $\overline{c}_v \simeq (5/2)R$ , aunque no se trate de una sustancia pura.

El hecho de que la capacidad calorífica molar sea una constante para los gases ideales permite hallar la energía interna como

$U = U_0 + n\overline{c}_v T$

Por tratarse de una relación entre funciones de estado, esta relación se cumple en todos los procesos, no solo los de volumen constante.

Metales: Para los metales, se cumple la ley de Dulong y Petit, que establece que $\overline{c}_v \simeq 25\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K}$ .

6.2 A presión constante

Muchos procesos termodinámicos, como reacciones químicas, o calentamiento del aire en una turbina, ocurren en recipientes abiertos a la atmósfera, que ejerce sobre el sistema una presión constante. En ese caso, la cantidad de calor necesaria para obtener un cierto aumento de la temperatura.

Si tenemos una cantidad de gas que calentamos a presión constante y le cedemos calor, el gas debe expandirse, de acuerdo con la ley de Charles, y realiza trabajo en esta expansión, ya que debe desocupar el aire que se encontraba allí previamente. Por tanto, parte del calor cedido se va en trabajo realizado por el sistema, resultando un incremento menor de temperatura.

Sigue cumpliéndose una proporcionalidad, pero con una constante diferente

$Q=C_p\,\Delta T$

siendo $C p$ la capacidad calorífica a presión constante, que, en el caso de un gas, será superior a $C v$ .

En el caso de un sólido o un líquido, la distinción entre las dos capacidades caloríficas no es tan importante como para los gases, ya que al ser prácticamente incompresibles, apenas realizan trabajo de expansión o compresión. Sin embargo, dado que la mayoría de los procesos de enfriamiento de un líquido o un sólido ocurren en sistemas abiertos al aire, el valor que aparece en las tablas como capacidad calorífica de la sustancia líquida o sólida, sin adjetivos, es estrictamente $C p$ , no $C v$ .

El primer principio de la termodinámica, en un proceso a presión constante, se escribe

$C_p\,\Delta T = Q = \Delta U - W = \Delta U + p\,\Delta V$

Agrupando términos, esta suma se puede escribir como el incremento

$C_p\,\Delta T= \Delta(U+pV)=\Delta H$

donde

$H \equiv U+pV\,$

es otra función de estado denominada entalpía. De esta forma, la capacidad calorífica a presión constante puede redefinirse como

$C_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p$

lo que nos dice que $C p$ es también una función de estado, independiente del proceso concreto.

6.2.1 Calor específico

Para una sustancia pura, la capacidad calorífica a presión constante es una magnitud extensiva. Dividiendo por la masa, obtenemos el calor específico a presión constante

$c_p = \frac{C_p}{m}$

Esta es la cantidad que suele tabularse al hablar de sólidos y líquidos. En particular, la caloría se define de tal forma que, para el agua

$c_p = 1\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{mol}\cdot\mathrm{K}}$

Para ser precisos, su valor cambia ligeramente con la temperatura.

6.2.2 Capacidad calorífica molar

Del mismo modo que en el caso a volumen constante, se define la capacidad calorífica molar a presión constante como

$\overline{c}_p=\frac{C_p}{n}$

En el caso particular de los gases ideales, puede establecerse una relación sencilla entre $\overline{c}_p$ y $\overline{c}_v$ . De la ley de los gases ideales tenemos que, a presión constante, se cumple la ley de Charles

$\Delta V = \frac{nR}{p}\Delta T$

Para un gas ideal se cumple también que

$\Delta U = n \overline{c}_v\,\Delta T$

con lo que

$n\overline{c}_p\Delta T = Q=\Delta U + p\,\Delta V = n \overline{c}_v\,\Delta T + nR\,\Delta T$

y de aquí llegamos a la llamada ley de Mayer para los gases ideales

$\overline{c}_p=\overline{c}_v+R\,$

Esto indica que para un gas monoatómico la capacidad calorífica molar a presión constante vale aproximadamente $(5 / 2) R$ y para uno diatómico (y para el aire) vale $(7 / 2) R$ .