Estado final de una mezcla de hielo y vapor de agua GIA

De Laplace

1 Enunciado

En un calorímetro que contiene 200 g de hielo a -8.00 °C se introducen 50.0 g de vapor de agua a 100 °C. El equivalente en agua del calorímetro es 20.0 g. Determina el estado final de la mezcla.

Datos: calor específico del hielo, 0.500 cal/g °C; calor latente de fusión del hielo, 80.0 cal/g; calor latente de vaporización del agua, 537 cal/g.

2 Solución

Supongamos que el estado final de la mezcla es agua líquida a una cierta temperatura. El vapor tiene que condensarse en agua líquida y después enfriarse hasta la temperatura final. Por su parte, el hielo tiene que calentarse para llegar a 0°C, luego derretirse y después calentarse hasta la temperatura final de la mezcla. Además hay que tener en cuenta el calor intercambiado por el calorímetro. El proceso que sigue cada uno de los sistemas es

$\begin{array}{lccccccc} \mathrm{Hielo:} & \left\{\begin{array}{c} m_H = 200\,\mathrm{g}\\T_H=-8.00\mathrm{^oC} \end{array}\right. & \Rightarrow & \begin{array}{c} m_H = 200\,\mathrm{g}\\T_H=0.00\mathrm{^oC} \end{array} & \Rightarrow & \begin{array}{c} m_H(liq) = 200\,\mathrm{g}\\T_H=0.00\mathrm{^oC} \end{array} & \Rightarrow & \begin{array}{c} m_H(liq) = 200\,\mathrm{g}\\T_f? \end{array} \\&&&&&&&\\ \mathrm{Vapor:} & \left\{\begin{array}{c} m_v = 50\,\mathrm{g}\\T_v=100.0\mathrm{^oC} \end{array}\right. & \Rightarrow & \begin{array}{c} m_v(liq) = 50\,\mathrm{g}\\T_H=100\mathrm{^oC} \end{array} & \Rightarrow & \begin{array}{c} m_v(liq) = 50\,\mathrm{g}\\T_f? \end{array} & & \\&&&&&&&\\ \mathrm{Vaso:} & \left\{\begin{array}{c} C_c = 20\,\mathrm{cal/g}\\T_H=-8.00\mathrm{^oC} \end{array}\right. & \Rightarrow & \begin{array}{c} C_c = 20\,\mathrm{cal/g}\\T_f? \end{array} & & & & \end{array}$

La capacidad calorífica del calorímetro es el productor de su equivalente en agua por el calor específico del agua líquida

$C_c = m_{eq}c_a = 20\,\mathrm{g}\times1\,\mathrm{\frac{cal}{g^oC}}=20\,\mathrm{cal/{}^oC}$

Ahora podemos calcular el calor transferido por cada uno de los sistemas

$\begin{array}{lcl} \mathrm{Hielo:}&&Q_H = m_hc_h(0-T_H) + m_HL_f + m_Hc_a(T_f-0) \\ &&\\ \mathrm{Vapor:}&&Q_v = - m_vL_v + m_vc_a(T_f-100) \\&&\\ \mathrm{Vaso:}&& Q_c = C_c(T_f-T_H) \end{array}$

El calor de fusión entra con signo positivo pues el hielo absorbe calor para derretirse, mientras que el calor de vaporización entra con signo negativo pues el vapor cede calor al condensarse. Obsérvese que el calorímetro no se ve afectado por cambios de fase. El dato del equivalente en agua del vaso nos sirve para calcular su capacidad calorífica, pero no significa que cambie de fase como el agua.

Como el sistema está aislado debe cumplirse

$Q H + Q v + Q c = 0$

Esto nos da una ecuación para una incógnita, la temperatura final de la mezcla. Obtenemos

$T_f = \frac{\displaystyle m_Hc_hT_H + 100\,m_vc_a + C_cT_H - m_HL_f + m_vL_v} {\displaystyle m_Hc_a+m_vc_a+C_c}=55.1\,\mathrm{^oC}$

La temperatura final es coherente con la suposición que hemos hecho de que el estado final de la mezcla es agua líquida a una cierta temperatura. Si hubiese salido una temperatura negativa querría decir que en el estado final habría hielo no derretido, mientras que si hubiese salido mayor que 100 °C querría decir que parte del vapor no se condensa. En esos casos habría que modificar los procesos que siguen cada uno de los sistemas.

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