Crecimiento de una capa de hielo

De Laplace

1 Enunciado

Un estanque de agua a 0°C está cubierto por una capa de hielo de 4.00°cm de espesor. Si la temperatura del aire permanece constante a -10.0°C, ¿cuánto tardará el espesor de la capa de hielo en alcanzar los 8.00 cm?

2 Solución

Intentemos primero comprender la física del problema. Como se indica en la figura, tenemos dos sistemas que intercambian calor, el agua líquida debajo del hielo y el aire por encima. La energía se transmite a través del hielo por conducción. Como el agua cerca del hielo tiene una temperatura mayor que la del aire, la energía fluye del agua hacia el aire. Pero el agua cerca del hielo está a una temperatura de $0 o C$ , por lo que al ceder energía sufre un cambio de fase y se congela. Este proceso hace aumentar el grosor de la capa de hielo.

Veamos cuanto vale la potencia transferida a través del hielo. En este caso tenemos un medio homogéneo, similar a la barra homogénea del problema anterior. El papel de la longitud de la barra lo representa aquí el grosor de la capa de hielo $h$ . Vamos a suponer que en cada instante la potencia de energía transferida es la misma en cada punto del hielo. En el problema anterior vimos que cuando el medio es homogéneo la temperatura varía linealmente. Entonces podemos hacer la aproximación

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\simeq\frac{\Delta T}{h}$

La potencia transferida a través del hielo es entonces

$\displaystyle \dot{Q}=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=k_HA\frac{\Delta T}{h}$

Aquí, $k H$ es la conductividad térmica del hielo y $A$ es la superficie del estanque. Podemos reescribir esta expresión de modo que obtenemos la energía cedida por el agua en el intervalo de tiempo $d t$

$\displaystyle\mathrm{d}Q=k_HA\frac{\Delta T}{h}\mathrm{d}t$

Ahora bien, está energía es la que ha cedido el agua al congelarse. Suponiendo que en el intervalo de tiempo $d t$ se congela una fina lámina de agua de grosor $d h$ , la energía cedida por el agua es

$\mathrm{d}Q=\mathrm{d}mL_f=\rho_a\mathrm{d}V\,L_f$

$d V$ es el volumen de la lámina de agua que se ha congelado. Si la superficie del estanque es $A$ este volumen es $d V = A d h$ . Entonces la energía cedida por el agua en el tiempo $d t$ es

$d Q = ρ a A L f d h$

$L f$ es la entalpía de fusión del agua.

Ahora podemos igualar el calor transferido a través del hielo con el calor cedido por el agua en el intervalo de tiempo $d t$

$\displaystyle \rho_a AL_f\mathrm{d}h=k_HA\frac{\Delta T}{h}\mathrm{d}t$