Problemas de campo eléctrico (GIA)

De Laplace

Contenido

1 Carga total en un cubo de cobre
2 Densidades de carga eléctrica
3 Electroscopio
4 Superposición de fuerzas electrostáticas en sistema de cargas puntuales
5 Fuerza eléctrica en sistema de cuatro cargas puntuales
6 Campo eléctrico entre dos cargas puntuales
7 Campo eléctrico en el vértice de un cuadrado
8 Campo eléctrico en el eje de un anillo, de una corona circular y de un disco
9 Flujo de campo eléctrico de carga puntual y barra cargada
10 Campo eléctrico de esfera cargada uniformemente
11 Campo eléctrico de esfera cargada en su superficie
12 Campo eléctrico de distribución volumétrica de carga con simetría radial
13 Campo eléctrico de un plano cargado
14 Corteza esférica conductora con hueco relleno de carga
15 Carga puntual en un hueco conductor
16 Campo eléctrico de un dipolo
17 Fuerza sobre un dipolo
18 Dipolo eléctrico en distribución esférica de carga
19 Campo eléctrico de esfera con distribución no uniforme de carga

1 Carga total en un cubo de cobre

Se tiene un cubo de cobre de 1 cm de arista. Calcula la cantidad de carga positiva y negativa que hay en el cubo. Si en un instante dado, los dos tipos de carga se separasen ocupando cada uno una mitad del tubo, estima la aceleración que sufriría cada una de las mitades si el cubo se dividiera en ese instante.

Datos: Número atómico del cobre $Z = 29$ , $\rho_m = 8.96\,\mathrm{g/cm^3}$ , $P_M = 63.5\,\mathrm{g/mol}$ .

2 Densidades de carga eléctrica

Calcula la carga eléctrica total en cada uno de estos sistemas

Uno hilo recto de longitud $L$ con una densidad lineal de carga uniforme $λ 0$ .
Un hilo recto de longitud $L$ con densidad lineal de carga $\lambda(x) = A\,x$ ( $x = 0$ corresponde al punto medio).
Un hilo circular con densidad de carga lineal uniforme $λ 0$ .
Un disco de radio $R$ y grosor nulo con densidad superficial de carga uniforme $σ 0$ .
Una esfera de radio $R$ con densidad de carga volumétrica uniforme $ρ 0$ .
Una esfera de radio $R$ con densidad de carga volumétrica $\rho(r)=A\,r$ , siendo $r$ la distancia al centro de la esfera.

3 Electroscopio

Un electroscopio mide la carga por la desviación angular de dos esferas idénticas conductoras, suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud $L$ . Cada esfera tiene una masa $m$ y está sometida a la gravedad $g$ . Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entre sí. Halla la ecuación que liga el semiángulo $θ$ con el valor de la carga total $Q$ depositada en las esferas.

Supón que la masa de cada esfera es $m=0.100\,\mathrm{g}$ y la longitud del cable del que penden es $20.0\,\mathrm{cm}$ . Admite asimismo que los ángulos de desviación pueden medirse como mucho con una precisión de $1 o$ . ¿Cuál es la carga mínima que puede medirse con este aparato? ¿Y la carga máxima?

4 Superposición de fuerzas electrostáticas en sistema de cargas puntuales

Dos partículas con cargas eléctricas $q 1 = q 2 = 1μC$ se encuentran situadas en las posiciones $\vec{r}_1=d\!\ \vec{\imath}$ y $\vec{r}_2=d\!\ \vec{\jmath}$ , siendo $d=1\,\mathrm{m}$ . Se coloca una tercera partícula con carga $q_3=2\,\mu\mathrm{C}$ en $\vec{r}_3=d\!\ (\vec{\imath}+\vec{\jmath})$ .

Calcular la fuerza sobre $q 3$ .
¿Qué valor ha de tener una carga $q 4$ situada en el origen para que la fuerza neta sobre la partícula con carga $q 3$ pase a ser nula?

5 Fuerza eléctrica en sistema de cuatro cargas puntuales

Dos cargas eléctricas puntuales idénticas de valor

Q

, ocupan sendos puntos

A

y

C

que, en un sistema de referencia

O X Y Z

, tienen coordenadas cartesianas

A (a,0,0)

y

C ( - a,0,0)

. Otras dos cargas idénticas entre sí y de valor

q

, ocupan los puntos

B

y

D

del eje

O Y

, cuyas coordenadas cartesianas son

B (0, b,0)

y

D (0, - b,0)

. La geometría

del sistema es tal que la distancia que separa dos carta contiguas es

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DA}|=\left(a^2+b^2\right)^{1/2}=2 \sqrt{ab}$

No existen más cargas eléctricas, a parte de las cuatro que constituyen el sistema descrito.

¿Qué relación deben verificar la cantidades de $Q$ y $q$ de las respectivas cargas puntuales descritas en el sistema para que la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre la carga que ocupa el punto $A$ sea nula, $\vec{F}_e(Q;A)=\vec{0}$ ?
En las condiciones del apartado anterior, ¿cómo es la fuerza eléctrica resultante que actúa sobre cada una de las otras tres cargas?

6 Campo eléctrico entre dos cargas puntuales

Se tienen dos cargas puntuales $q 1$ y $q 2$ separadas por una distancia $d$ . Determina el punto sobre la línea que las une en el que el campo eléctrico se anula para cada uno de estos casos

$q_1=q,\quad q_2=q$ .
$q_1=q,\quad q_2=-q$ .
$q_1=q,\quad q_2=-2q$ .
$q 1$ y $q 2$ arbitrarios.

7 Campo eléctrico en el vértice de un cuadrado

En tres de los vértices de un cuadrado de lado $a=1.00\,\mathrm{cm}$ tenemos sendas cargas puntuales $q 1$ , $q 2$ y $q 3$ . Calcula el campo eléctrico en el vértice sin carga en cada uno de los siguientes casos.

$q_1=q_2=q_3=1.00\,\mathrm{\mu C}$ .
$q_1=q_3=1.00\,\mathrm{\mu C}$ , $q_2=-2\sqrt{2}\,\mathrm{\mu C}$ .
$q_1=q_2=1.00\,\mathrm{\mu C}$ , $q_3=-1.00\,\mathrm{\mu C}$ .

8 Campo eléctrico en el eje de un anillo, de una corona circular y de un disco

Halle el campo eléctrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio $R$ sobre el cual hay una densidad de carga uniforme $λ$ .

A partir de este resultado, calcule el campo creado por una corona circular de radios $R 1$ y $R 2$ ( $R 1 < R 2$ ), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme $σ 0$ , en los puntos de su eje.

¿A qué se reduce si $R_1\to 0$ ? ¿Y si $R_2\to\infty$ ? Considere en particular el comportamiento en las proximidades de $z = 0$ .

9 Flujo de campo eléctrico de carga puntual y barra cargada

Se tiene una barra de ebonita de sección despreciable y longitud $l=8\pi\,\mathrm{cm}\,$ , que tras frotarla con lana adquiere una carga eléctrica negativa $q=-40\,\mathrm{nC}\,$ uniformemente distribuidos a lo largo de la barra. Además, existe una carga puntual positiva $Q=(1/4\pi)\,\mu\mathrm{C}\,$ , situada a una distancia $d=\pi\,\mathrm{cm}$ del centro $O$ de la barra, en dirección perpendicular a ésta. Determínese el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio $a=5\,\mathrm{cm}$ y centro en $O$ .

Datos: Valor de la constante electrostática (o de Coulomb), $\displaystyle \quad k_e=(4\pi\varepsilon_0)^{-1}\approx 9\times 10^9\ \frac{\mathrm{Nm}^2}{\mathrm{C}^2}$

10 Campo eléctrico de esfera cargada uniformemente

Una carga $Q$ se distribuye uniformemente en el volumen de una esfera de radio $R$ . Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.

11 Campo eléctrico de esfera cargada en su superficie

Una carga $Q$ se distribuye uniformemente en la superficie de una esfera de radio $R$ . Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.

12 Campo eléctrico de distribución volumétrica de carga con simetría radial

En una esfera

τ 0

de radio

R 0

y centro en

O

, existe una distribución no uniforme de carga eléctrica negativa descrita por una densidad volumétrica radial

ρ e (r)

, respecto del punto

O

, de manera que

r

es la distancia desde dicho centro al punto

P

donde se mide la densidad de carga. Dicha distribución es tal que si consideramos una región esférica

τ

con centro en

O

y radio $r\leq R_0$ , la cantidad parcial de carga contenida en

τ

es $Q_\tau=-Q_0\!\ (r/R_0)^2=Q_\tau(r)$ . No hay más cargas en el sistema.

¿Cómo es la componente radial del campo eléctrico $E (r)$ creado por la distribución descrita, tanto dentro como fuera de la esfera $τ 0$ ?
¿Cómo es el potencial electrostático creado por la distribución en el exterior de $τ 0$ ? ¿Cuánto vale el potencial en el centro $O$ ?

13 Campo eléctrico de un plano cargado

Sobre una superficie plana que puede considerarse infinita, se ha depositado una densidad superficial de carga uniforme,

σ 0

.

Calcúlese el campo eléctrico a ambos lados del plano.
Se dispone ahora otro plano, paralelo al anterior a una distancia $d$ , y con una densidad superficial de carga uniforme $- σ 0$ . Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

14 Corteza esférica conductora con hueco relleno de carga

Se tiene una esfera metálica (conductor perfecto) de radio

2 R

, que tiene en su interior un hueco concéntrico de radio

R

. La corteza de material conductor comprendida entre las superficies interior (

Σ int

) y exterior (

Σ ext

), de radio

R

y

2 R

, respectivamente, está perfectamente aislada y cargada eléctricamente con una cantidad fija

Q 0

de carga libre. El hueco está relleno de un gas cargado eléctricamente con una cantidad de carga

Q 0

, que se considera uniformemente distribuida en todo el volumen del hueco. Asumiendo que el sistema se halla en equilibrio electrostático...

¿Cómo se distribuye la carga $Q 0$ en la corteza conductora?
Obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio.

15 Carga puntual en un hueco conductor

Una carga puntual positiva de $2.5\,\mathrm{\mu C}$ se sitúa en el centro de una corteza esférica de radio interior $60\,\mathrm{cm}$ y radio exterior $90\,\mathrm{cm}$ .

Determina la expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
Determina las densidades superficiales de carga eléctrica en las superficies interior y exterior de la corteza, así como la carga total de esta.
¿Como se ve afectado la densidad de carga en la superficie exterior si la carga puntual no está en el centro de la cavidad?
Repetir los apartados anteriores en caso de que se añada una carga neta de $+ 3.5μ C$ a la corteza.

16 Campo eléctrico de un dipolo

Tenemos dos cargas puntuales de la misma magnitud y signo contrario separadas una distancia $d$ .

Encuentra la expresión que da el campo eléctrico en los puntos de la línea que une ambas cargas.
Encuentra la expresión que da el campo eléctrico en los puntos de la línea perpendicular a la línea que une las dos carga y pasa por el punto equidistante entre ellas.
En los dos casos anteriores, ¿cómo el es campo eléctrico cuando la distancia al punto medio es grande?

17 Fuerza sobre un dipolo

Se tiene un dipolo eléctrico $\vec{p}$ situado a una distancia $x$ de un hilo infinito cargado uniformemente con densidad de carga uniforme $λ 0$ . Admitiendo que el dipolo está orientado en la dirección del campo creado por el hilo, encuentra la expresión de la fuerza que el hilo crea sobre el dipolo.

18 Dipolo eléctrico en distribución esférica de carga

Un gas ionizado encerrado en una esfera puede modelarse como una distribución de carga con densidad volumétrica uniforme de valor $ρ 0$ . En su interior hay una molécula de agua, con carga total nula, pero que puede considerarse como un dipolo formado por dos cargas opuestas, ambas de valor absoluto $2 e$ , separadas una distancia $δ$ . Si inicialmente la molécula está situada en el punto central $O$ de la distribución de carga, ¿qué ocurre después?

19 Campo eléctrico de esfera con distribución no uniforme de carga

Utilizando la ley de Gauss calcula el campo eléctrico creado por una esfera de radio $R$ con densidad volumétrica de carga $\rho(r) = A\,r$ , siendo $r$ la distancia al centro de la esfera.