Campo eléctrico de esfera cargada en su superficie GIA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una carga $Q$ se distribuye uniformemente en la superficie de una esfera de radio $R$ . Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.

2 Solución

2.1 Distribución de la carga

Consideramos una esfera de radio $R$ con una cantidad $Q$ de carga eléctrica distribuida exclusivamente en su superficie. Este modelo puede responder tanto al caso de una esfera hueca de espesor despreciable (es decir, una superficie esférica $Σ f$ ) cargada, como al de una esfera maciza en la que todos los puntos interiores tienen carga neta nula, de manera que la densidad volumétrica de carga es cero.

La carga distribuida en la superficie estará descrita por la correspondiente densidad superficial de carga $\sigma_e(\mathbf{r}')$ . La uniformidad de la distribución indica que en todos los puntos

P'

de la superficie existirá la misma cantidad de carga por unidad de superficie, lo cuál es equivalente a que la relación entre la cantidad de carga contenida en un trozo arbitrario de superficie y el área de esta, debe ser constante. Si tomamos un sistema de referecia tal que su origen

O

coincida con el centro de la superficie esférica, ésta vendrá descrita por la ecuación,

$\Sigma:r'=R\mathrm{,}\quad\,\mathrm{con}\,\;r'=|\mathbf{r}'|=|\overrightarrow{OP'}|$

...y la densidad superficial de carga...

$\sigma_e(\mathbf{r}')=\lim_{\Delta S'\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta S'}\bigg\rfloor_{P'}=\frac{\Delta q}{\Delta S'}\mathrm{,}\;\;\forall\,\Delta S'\quad\Longrightarrow\quad\sigma_e(\mathbf{r}')=\frac{Q}{4\pi R^2}=\sigma_0\ \mathrm{,}\;\,\mathrm{cte.}$

2.2 Simetría del campo eléctrico

La uniformidad y la geometría esférica de la distribución de carga nos lleva a formular la hipótesis de que el campo eléctrico que crea va a presentar un alto grado de simetría y, en consecuencia, puede ser fácilmente calculado mediante la Ley de Gauss.

Para determinar esas propiedades de simetría consideraremos un punto $P$ arbitrario en el espacio y la recta $Δ$ que pasa por él y por el centro $O$ de la esfera. Obsérvese que para todo punto de la superficie esférica, existe otro simétricamente dispuesto respecto de dicha recta $Δ$ , encontrándose ambos a la misma distancia del punto $P$ donde queremos evaluar el campo eléctrico. Como la distribución es uniforme y, por tanto, la densidad superficial de carga es constante, en ambos habrá la misma cantidad infitesimal de carga. En consecuencia, los diferenciales de campo eléctrico creados por dichas cargas suman sus componentes en la dirección del eje $Δ$ , pero cancelan las perpendiculares a dicha dirección.

Y puesto que esto ocurre cualquiera que sea el par de puntos simétricos considerados sobre la superficie de la esfera, es resultado es que la resultante del campo eléctrico en

P

, de toda la distribución de carga, va a ser colineal con la dirección

Δ

y, por tanto, con el segmento orientado $\overrightarrow{OP}$ . Y como la elección de

P

es arbitraria, este resultado es extensible a todas las direcciones del espacio que pasen por el centro

O

de la esfera, obteniéndose además idéntico valor para la componente del campo en puntos que se hallen a igual distancia de

O

:

$\mathbf{E}(P)\ \|\ \Delta\ \|\ \overrightarrow{OP}\mathrm{,}\;\;\forall\, P\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r) \mathbf{u}_r\ \mathrm{,}\;\ \,\mathrm{con}\,\;\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r$

siendo $\mathbf{u}_r$ el vector unitario en la dirección del radio-vector posición $\mathbf{r}$ . Se trataría, por tanto de un campo con simetría radial (como el de una carga puntual).

2.3 Aplicación de la Ley de Gauss

Establecida la dirección del campo eléctrico en cualquier punto del espacio, hemos de determinar ahora el valor de la componente $E (r)$ como una función de la distancia $r$ al centro de la esfera. Para ello procederemos a aplicar la ley del Gauss, según la cual el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada $\partial \tau$ es proporcional a la cantidad de carga eléctrica encerrada en el interior de dicha superficie:

$\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_\tau}{\varepsilon_0}$

2.3.1 Cálculo del flujo eléctrico

Obviamente, elegiremos una superficie “gaussiana” $\partial\tau$ que facilite el cálculo de $E (r)$ . Por ejemplo, una tal que el elemento de superficie $\mathrm{d}\mathbf{S}$ en cada punto $P$ de la superficie sea colineal con el campo eléctrico en dicho punto y, en consencuencia, con el segmento orientado $\overrightarrow{OP}$ . Esto se ocurre si elegimos como $\partial\tau$ una superficie esférica concéntrica con la distribución de carga y radio $r$ arbitrario, cuyos puntos se encontrarán todos a la misma distancia arbitraria $r$ del punto $O$ :

$\partial\tau:r\mathrm{,}\;\,\mathrm{cte.}\,\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S\!\ \mathbf{u}_r\ \|\ \overrightarrow{OP}\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{d}\Phi_e\big\rfloor_P=\mathbf{E}(P)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=E(r)\ \mathrm{d}S\mathrm{,}\;\;\forall\, P\in\partial\tau$

Y Obsérvese que, al estar todos los puntos de la superficie $\partial\tau$ a la misma distancia de $O$ , la componente del campo eléctrico tendrá el mismo valor $E (r)$ en todos ellos. Por tanto, puede salir fuera de la integral de superficie, de manera que,

$\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=E(r)\int_{r\mathrm{, cte.}}\!\!\!\!\mathrm{d}S=4\pi r^2\!\ E(r)$

2.3.2 Carga encerrada y evaluación de la ley

La cantidad de carga contenida en el volumen

τ

delimitado por la superficie cerrada $\partial\tau$ definida en el apartado anterior, depende del tamaño de dicha superficie: si su radio

r

es mayor que el de esfera cargada, la carga contenida será igual a la carga total

Q

de la distribución; si el radio de la gaussiana $\partial\tau$ es menor que

R

, se tendrá que

τ

es interior a la esfera y, por tanto, no contendrá carga alguna, ya que éste se encuentra distribuida en la superficie: $Q_\tau=Q_\tau (r)=\begin{cases}Q\mathrm{;}&r>R\\ \\ 0\mathrm{;}&r<R\end{cases}\qquad\Longrightarrow\qquad\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=4\pi r^2\!\ E(r)=\begin{cases}Q/\varepsilon_0\mathrm{;}&r>R\\ \\ 0\mathrm{;}&r<R\end{cases}$

Finalmente, construimos la función de campo $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ teniendo en cuenta que el radio-vector posición es $\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r$ :

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\!\ \mathbf{u}_r=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|>R\\ \\ \mathbf{0}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|<R\end{cases}$

Es decir, fuera de la esfera cargada el campo eléctrico es idéntido al que crearía una carga puntual

Q

situada en el centro

O

, pero en el interior de la esfera ¡el campo eléctrico es nulo!

2.4 Discontinuidad del campo

Obsérvese que este resultado pone en evidencia la existencia de un salto o discontinuidad del campo eléctrico en la superficie de la esfera donde está distribuida la carga eléctrica.

Calculemos el valor de la componente del campo eléctrico en los puntos de la superficie cargada $Σ$ , cuando la medimos en las caras exterior ( $\Sigma^+:\ r=R^+$ ), e interior ( $\Sigma^-:\ r=R^-$ ). En cada caso, hemos de utilizar la correspondiente función de campo; es decir:

$\left.\begin{array}{l}\displaystyle E(P)\big\rfloor_{\Sigma^+}=E(r=R^+)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\\ \\ E(P)\big\rfloor_{\Sigma^-}=E(r=R^-)=0\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $E(P)\big\rfloor_{\Sigma^+}-E(P)\big\rfloor_{\Sigma^-}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}=\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}$

Es decir, el valor del salto que sufre la componente del campo eléctrico en cada punto de la superficie cargada está directamente relacionado con la densidad superficial de carga en dicho punto.

Campo eléctrico de esfera cargada en su superficie GIA

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Distribución de la carga

2.2 Simetría del campo eléctrico

2.3 Aplicación de la Ley de Gauss

2.3.1 Cálculo del flujo eléctrico

2.3.2 Carga encerrada y evaluación de la ley

2.4 Discontinuidad del campo

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