Campo eléctrico de un plano cargado GIA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Campo eléctrico de un plano
  - 2.1.1 Simetría del campo eléctrico
  - 2.1.2 Aplicación de la ley de Gauss
- 2.2 Campo de dos planos paralelos con carga opuesta

1 Enunciado

Sobre una superficie plana que puede considerarse infinita, se ha depositado una densidad superficial de carga uniforme,

σ 0

.

Calcúlese el campo eléctrico a ambos lados del plano.
Se dispone ahora otro plano, paralelo al anterior a una distancia $d$ , y con una densidad superficial de carga uniforme $- σ 0$ . Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

2 Solución

2.1 Campo eléctrico de un plano

El plano infinito $Π f$ con una densidad superficial de carga eléctrica constante $σ 0$ , es un modelo en primera aproximación del sistema consistente en una región plana de espesor despreciable, donde hay distribuida una cantidad de carga $Q$ . Además, la región es lo suficientemente extensa como para poder considerar que, en puntos $P'$ que se hallan lejos de la bordes, la carga se distribuye de manera uniforme, según la función densidad superficial de carga,

$\sigma_e (\mathbf{r}')=\sigma_0\simeq\frac{Q}{S}\,\mathrm{,}\,$

siendo $S$ el área de la superficie cargada. En consecuencia, la validez del modelo y de los resultados que de él se deriven, se restringirá a la región del espacio que comprende puntos suficientemente alejados de los bordes de la superficie cargada, a la vez que tan próximos a ella como para que su tamaño pueda considerarse infinito.

Así pues, procederemos a calcular el campo eléctrico en puntos del espacio que pueden considerarse dentro del rango de validez del modelo de plano infinito $Π f$ con una distribución uniforme de carga, $σ 0$ . Sin perder generalidad por ello, adoptaremos un sistema de coordenadas tal que el eje $O Z$ sea perpendicular a dicho plano, de manera que $\Pi_f:\!\ z=0$ . Por otra parte, obsérvese que al admitir que tiene extensión infinita, el origen $O$ del sistema de referencia podría ser cualquier punto del plano, de manera que las coordenadas $x$ e $y$ de los puntos del espacio se convierten en variables mudas que no aportan información alguna sobre la posición de cualquier punto en, o respecto del plano.

La distribución de carga uniforme e infinitamente extensa es simétrica respecto de cualquier plano vertical. Es de esperar, por tanto, que el campo eléctrico creado presente propiedades de simetría que permitan obtenerlo fácilmente mediante la aplicación de la ley de Gauss. En conscuencia, el primer paso será determinar las propieades geométricas de dicho campo

2.1.1 Simetría del campo eléctrico

Consideremos un punto $P (z)$ que se encuentra a una distancia $z$ sobre el plano cargado $Π f$ . En dicho plano podremos considerar infinitas circunferencias concéntricas, formadas cada una de de ellas por puntos que equidistan de $P$ . Cada punto de cada una de las circunferencias constituye una carga puntual infinitesimal $dq=\sigma_0\!\ \mathrm{d}S$ , que contribuirá con un $\mathrm{d}\mathbf{E}$ al campo eléctrico total en el punto $P$ . Al tratarse de una distrubición uniforme, habrá otra carga idéntica y diametralmente opuesta cuya contribución cancelerá la componente paralela al plano de la de su simétrica, mientras que duplica la componente en la dirección perpendicular (dirección “ $z$ ”). Esto ocurrirá con todas las parejas de cargas simétricas que podemos considerar en todas y cada una de las circunferencias del plano $Π f$ , por lo que el campo eléctrico total en el punto $P$ arbitrario, sólo va a tener componente en la dirección perpendicular al plano.

Pero obsérvese que en el punto

P ( - z)

, simétrico del anterior respecto del plano

Π f

, la distribución de carga creará un campo eléctrico de igual dirección y magnitud que en el punto

P (z)

, pero de sentido contrario. Además, como el resultado debe ser idéntico para cualquier valor de las coordenadas

x

e

y

de dichos puntos, llegamos a la conclusión de que el módulo del campo eléctrico sólo va a ser función del valor de la coordenada

z

; es decir, sólo dependerá de la distancia entre el punto donde se evalúa el campo y el plano cargado:

$\forall\, P(x,y,z)\mathrm{,} \quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(z)\!\ \mathbf{k}\mathrm{;}\;\;\;\mathrm{con}\,\;E(-z)=-E(z)$

2.1.2 Aplicación de la ley de Gauss

Calculemos el flujo de este campo a través de una superficie gaussiana cilíndrica recta $\partial\tau$ , con sus bases paralelas al plano cargado y a igual distancia de éste, de manera que podamos aprovechar las propiedades de simetría.

Descomponemos el flujo total en la suma de los flujos parciales a través de las bases y de la superficie lateral, y encontramos que éste último va a ser nulo, ya que el campo eléctrico es tangente a dicha superficie:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})\!\ \perp\!\ \mathrm{d}\mathbf{S}_\mathrm{lat}\quad\Longrightarrow\quad\Phi_e\big\rfloor_{\partial \tau}=\oint_{\partial \tau}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\int_{S_u}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_u\; + \int_{S_d}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_d\; +\underbrace{\int_{S_\mathrm{lat}}\!\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_\mathrm{lat}}_{=0}$

Las bases de la superficie cilíndrica cerrada,

S u

y

S d

se encuentran en sendos planos de coordenadas

z

y

- z

, constantes. Los vectores normales a dichas superficies tienen igual dirección, aunque con sentidos opuestos $\mathbf{k}$ y $-\mathbf{k}$ , respectivamente. De esta forma, los flujos elemantales del campo eléctrico a través de dichas bases son: $\begin{array}{l}\mathrm{d}\Phi_e\big\rfloor_{S_u}=\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_u=E(z)\mathrm{d}S\\ \\ \mathrm{d}\Phi_e\big\rfloor_{S_d}=\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_d=-E(-z)\mathrm{d}S\end{array}$

Obsérvese que el valor del campo eléctrico es el mismo en todos los puntos de cada una de las bases, ya a todos tienen el mismo valor de coordenada $z$ ó $- z$ . Como el cilindro es recto, ambas bases tendrán igual área $S$ que, por otra parte, también será igual a la del trozo de superficie cargada contenido dentro del volumen $τ$ delimitado por la superficie gaussiana $\partial\tau$ . Y si además tenemos en cuenta que los campos eléctricos en $S u$ y en $S d$ son opuestos, se obtien el siguiente valor para el flujo del campo eléctrico a través de $\partial\tau$ :

$\Phi_e\big\rfloor_{\partial \tau}=E(z)\int_{S_u}\!\!\mathrm{d}S\; -E(-z)\int_{S_d}\!\!\mathrm{d}S=2E(z)\!\ S\ \mathrm{,}\;\;\; \mathrm{para}\;\; z>0$

Según la ley de Gauss, este flujo es proporcional a la cantidad de carga que hay en el interior de la superficie cerrada $\partial\tau$ , y que será la carga que hay en el disco de área $S$ resultante de la intersección del plano cargado $Π f$ con el volumen $τ$ . Y como la densidad superficial de carga en el plano es constante, se tendrá:

$\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=\frac{Q_\tau}{\varepsilon_0}= \frac{\sigma_0\!\ S}{\varepsilon_0}\quad\Longrightarrow\quad E(z)=\frac{\sigma_0}{2\!\ \varepsilon_0}\ \mathrm{,}\;\;\; \mathrm{para}\;\;z>0$

Como

σ 0

y $\varepsilon_0$ son ambos constantes, se tiene que el campo eléctrico por encima del plano cargado no depende tampoco de la distancia a dicho plano; es decir, es uniforme: con dirección, módulo y sentido constantes, dependiendo este último del signo de la carga distribuida en el plano. Para valores negativos de la coordenada

z

, el campo eléctrico es opuesto al situado por encima del plano

Π f

, según se vió en el apartado 2.1.1. En resumen, el campo eléctrico creado por la distribución uniforme de carga en $\Pi_f:\ z=0$ es de la forma:

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(z)\!\ \mathbf{k}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\ \mathbf{k}\ \mathrm{;}& z>0\\ \\ \displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\ \mathbf{k}\ \mathrm{;}& z<0\end{cases}$

2.2 Campo de dos planos paralelos con carga opuesta

Consideramos ahora un segundo plano $\Pi'_f:\!\ z=d$ , también de extensión indefinida, y con una distribución de carga uniforme y opuesta a la de aquél, caracterizada por una densidad superficial

- σ 0

.

El campo eléctrico creado por esta distribución será opuesto a la anterior y desplazado una distancia $d$ :

$\mathbf{E}'(\mathbf{r})=E(z)\!\ \mathbf{k}=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\ \mathbf{k}\ \mathrm{;}& z>d\\ \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\ \mathbf{k}\ \mathrm{;}& z<d\end{cases}$

Si consideramos la presencia simultánea de las dos distribuciones, sus efectos se superponen, siendo el campo resultante la suma de los producidos por cada una de ellas por separado. A la hora de sumarlos hay que tener cuidado de utilizar las expresiones pertinentes en cada una de las regiones en que queda dividido el espacio. Nótese que en los semiespacios $z > d$ y $z < 0$ , los campos $\mathbf{E}$ y $\mathbf{E}'$ tienen igual dirección y módulo, pero sentido contrario, por lo que se anulan mutuamente. Por el contrario, en la región comprendida entre los planos, ambos campos se suman:

$\mathbf{E}_\mathrm{total}(\mathbf{r})=\mathbf{E}(\mathbf{r})+\mathbf{E}'(\mathbf{r})=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\ \mathbf{k}\ \mathrm{;}& 0<z<d\\ \\ \mathbf{0}\ \mathrm{;}& 0>z>d\end{cases}$

Campo eléctrico de un plano cargado GIA

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Campo eléctrico de un plano

2.1.1 Simetría del campo eléctrico

2.1.2 Aplicación de la ley de Gauss

2.2 Campo de dos planos paralelos con carga opuesta

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