De Laplace

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1 Problemas del boletín
2 Otros problemas

1 Problemas del boletín

1.1 Giro de un triedro

Los triedros $O 1 X 1 Y 1 Z 1$ y $O X 0 Y 0 Z 0$ están definidos de modo que sus orígenes y los ejes $O 1 Z 1$ coinciden. El triedro "1" está en reposo y el triedro "0" gira respecto al "1" con velocidad angular uniforme $\vec{\omega}_{01} = \omega\,\vec{k}_1 =\omega\,\vec{k}_0$ , de modo que el ángulo $θ$ indicado en la figura es $\theta = \omega\, t$ .

Calcula las derivadas de los vectores de la base del triedro "0" vistos desde el triedro "1".
Dado el vector $\vec{A}(t) = a\,\vec{\imath}_0$ calcula

$\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_1 \qquad\qquad \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\right|_0$

Expresa el resultado en los vectores de la base móvil (triedro "0") y la base fija (triedro "1").
Haz el mismo cálculo para el vector $\vec{B}(t) = b\,t\,\vec{\imath}_0$

1.2 Coche sobre una plataforma circular

Una plataforma circular gira alrededor de un eje perpendicular a ella que pasa por su centro con velocidad angular uniforme $ω$ . Un coche se mueve radialmente desde el centro de la plataforma hacia fuera con velocidad uniforme $v c$ . Encuentra la expresión de la velocidad del coche visto desde la plataforma y desde un observador en reposo absoluto. Describe las trayectorias que describe el coche para cada uno de estos observadores.

Ayuda

$\begin{array}{ccc} \displaystyle\int t\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\mathrm{d} t = -\dfrac{t}{\omega}\cos(\omega t) + \dfrac{1}{\omega^2}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)& \qquad &\displaystyle\int t\,\cos(\omega t)\mathrm{d} t = \dfrac{t}{\omega}\,\mathrm{sen}\,(\omega t) + \dfrac{1}{\omega^2}\cos(\omega t) \end{array}$

1.3 Disco engarzado en otro disco

En la figura se muestra un disco de radio $R$ (sólido "2"), que gira con velocidad angular $ω 20 (t) = ω$ , constante, alrededor del eje perpendicular a él, $O 1 X 0$ . Dicho eje está rígidamente unido a una plataforma (sólido "0"), que gira también con velocidad angular constante $ω 01 (t) = Ω$ , alrededor del eje vertical $O 1 Z 1$ de un sistema de referencia fijo $O 1 X 1 Y 1 Z 1$ (sólido "1"). Determina las magnitudes cinemáticas $\vec{v}^B_{21}$ y $\vec{a}^B_{21}$ en el instante representado en la figura.

1.4 Hélice de un avión que gira

El avión (sólido "0") de la figura se mueve de modo que el centro $C$ de su hélice describe una circunferencia de radio $L$ . La velocidad angular de este giro es uniforme y su módulo es $|\vec{\omega}_{01}|=\Omega$ . Además, la hélice (sólido "2"), cuyo radio es $R$ , gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad también uniforme y de módulo $|\vec{\omega}_{20}|=\omega$ . Se pide

La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
Aplicando la composición de velocidades, la velocidad $\vec{v}_{21}^P$ y aceleración $\vec{a}_{21}^P$ del punto más alto de la hélice (punto $P$ en la figura).
La reducción cinemática del movimiento {21} en $P$ y la ecuación del E.I.R.M.D. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido "1"?
Calcule numéricamente $|\vec{v}_{21}^P|$ y $|\vec{a}_{21}^P|$ para los valores $R=1\,\mathrm{m}$ , $L=100\,\mathrm{m}$ , $\omega=100\,\mathrm{rad/s}$ y $\Omega=1\,\mathrm{rad/s}$ .

Nota: Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido "0" para resolver el problema.

2 Otros problemas

2.1 Disco y varilla con dos rotaciones

El sistema de la figura está formado por una varilla $A B$ de longitud $l$ (sólido "0"), cuyo extremo $A$ está fijado en el eje vertical $O 1 Z 1$ , a una altura $R$ sobre el plano horizontal fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido "1"). La varilla $A B$ gira alrededor de $O 1 Z 1$ con una velocidad angular constante $Ω$ , permaneciendo siempre perpendicular a dicho eje vertical fijo. El extremo $B$ del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido "2"), de modo que la varilla es siempre perpendicular al disco. El disco gira con una velocidad angular constante $ω$ , coincidiendo su eje de giro con la varilla.

Caracterice los movimientos {01}, {20} y {21} (reducciones cinemáticas).
Obtenga la expresión de la velocidad $\vec{v}^C_{21}$ del punto de contacto del disco con el plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ , (punto $C$ ) en términos de los datos del problema. ¿Qué relación debe existir entre las velocidades angulares $ω$ y $Ω$ para que el disco ruede sin deslizar sobre el plano?
Obtenga las expresiones de la aceleración angular del movimiento {21} y de la aceleración $\vec{a}^B_{21}$ del centro del disco (punto $B$ ). Calcule la aceleración del punto de contacto $C$ perteneciente al disco cuando éste rueda sin deslizar sobre el plano $O 1 X 1 Y 1$ .

2.2 Cono rodando sin deslizar sobre plano

Un cono recto de radio $R$ en su base y una altura $h=\sqrt{3}\,R$ (sólido “2”), se mueve rodando sin deslizar sobre el plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido “1”), en el cuál apoya, en cada instante, una generatriz $\overline{OG}$ . La velocidad del centro $C$ de la base del cono, medida desde el sistema de referencia ligado al sólido “1”, tiene módulo constante de valor $v 0$ . Para facilitar la descripción del movimiento, se introduce un sistema de referencia $O X 0 Y 0 Z 0$ (sólido “0”) con origen $O$ en el vértice del cono, el eje $O Z 0$ siempre perpendicular al plano fijo “1”, y cuyo eje $O Y 0$ contiene en cada instante a la generatriz del cono en contacto con dicho plano.

Reducciones cinematicas de los movimientos relativos.
Ejes de rotación y naturaleza de los movimientos.
Campos de aceleraciones.

2.3 Horquilla y disco

El sistema de la figura consiste en una horquilla semicircular (sólido "0"), que siempre está paralela al plano fijo $O 1 X 1 Y 1$ (sólido "1"). El punto $O$ de dicho aro (siempre el mismo) se desplaza con velocidad $v$ sobre el eje $O 1 Z 1$ , a la vez que el aro gira con velocidad angular constante $Ω$ alrededor de dicho eje fijo. Un disco de radio $R$ (sólido "2"), se mueve respecto a "0" girando alrededor del diámetro común $A B$ , con velocidad angular constante $ω$ .

Nota: Los valores de $Ω$ , $ω$ y $v$ pueden ser positivos o negativos.

¿Cuándo es nula la velocidad mínima del movimiento {21}?
Qué debe ocurrir para que el eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento pase por el centro del disco? Calcule en este caso la derivada temporal de la reducción cinemática
¿Qué condición debe cumplirse para que el movimiento {21} sea una rotación instantánea y el eje instantáneo de rotación pase por el centro del disco?

2.4 Dos conos en movimiento relativo

Dos conos rectos de semiángulos en el vértice $π / 3$ y $π / 6$ (sólidos "0" y "2", respectivamente), se hallan en contacto en todo instante por una generatriz. Cada cono realiza un movimiento de rotación permanente respecto a un sistema de referencia fijo (sólido "1") alrededor de su correspondiente eje de simetría. Las velocidades angulares respectivas son $\vec{\Omega}(t)$ para el movimiento {01} y $\vec{\omega}(t)$ para el {21}. Además, los conos se mueven de manera que sus puntos en contacto no tienen deslizamiento relativo.

¿Que tipo de movimiento es el {20}?
En ese movimiento, ¿que puntos tienen velocidad mínima?
¿Que relación deben cumplir las velocidades angulares del enunciado?
Calcula la aceleración angular $\vec{\alpha}_{20}$ .

2.5 Esfera sobre dos raíles

Una esfera de radio $R$ (sólido "2"), se desplaza sobre dos carriles circulares concéntricos fijos de radios $R$ y $2 R$ (sólido "1"), situados en un plano horizontal (ver figura). El movimiento de la esfera es tal que: i) en todo instante, rueda sin deslizar sobre ambos carriles, y ii) su centro $C$ realiza un movimiento circular uniforme, siendo $v 0$ el módulo de su velocidad. Considerando cómo sólido móvil intermedio (sólido "0") al plano $O 1 X 0 Z 0$ que contiene en todo instante al centro $C$ de la esfera (ver figura), calcula:

Los ejes instantáneos o permanentes de rotación de los movimientos {21}, {20} y {01}.
Reducciones cinemáticas de dichos movimientos,
Para el punto de la esfera en contacto con el carril de mayor diámetro (punto $B$ ), los vectores $\vec{v}_{20}^B$ y $\vec{a}_{21}^B$

2.6 Disco y vástago

El sólido rígido "0" del mecanismo de la figura corresponde a un vástago $O C$ de longitud $3 R$ que, mediante un par cilíndrico situado en su extremo $O$ , permanece en todo instante perpendicular al eje vertical fijo $O 1 Z 1$ (sólido "1"). Dicho par de enlace permite que el vástago gire alrededor de $O 1 Z 1$ con velocidad angular constante de módulo $|\vec{\omega}_{01}|=2\omega$ y en el sentido mostrado en la figura; a su vez, el extremo $O$ se desplaza sobre el eje vertical $O 1 Z 1$ en sentido positivo y con velocidad constante, siendo el módulo de ésta $|\vec{v}_{01}^O|=v$ . El extremo $C$ del sólido "0" está articulado al centro de un disco de radio $R$ (sólido "2"), siempre contenido en el plano vertical $O X 0 Z 0$ ; el movimiento relativo del disco respecto del vástago consiste en una rotación permanente alrededor de un eje paralelo a $O Y 0$ que pasa por $C$ , en el sentido indicado en la figura y con velocidad angular constante de módulo $|\vec{\omega}_{20}|=\omega$ . Utilizando la base vectorial del triedro ligado al sólido "0"- $O X 0 Y 0 Z 0$ - para expresar las magnitudes vectoriales, determina:

El vector rotación instantánea $\vec{\omega}_{21}$ y su derivada temporal $\vec{\alpha}_{21}$ (vector aceleración angular), correspondientes al movimiento del disco respecto al triedro fijo.
Las velocidades del punto $A$ del perímetro del disco en el instante en el que aquél ocupa el punto más alto del diámetro vertical(ver figura), para cada uno de los tres movimientos relativos que se distinguen en el mecanismo descrito: $\vec{v}_{01}^A$ , $\vec{v}_{20}^A$ y $\vec{v}_{21}^A$ .
Las aceleraciones $\vec{a}_{01}^A$ , $\vec{a}_{20}^A$ y $\vec{a}_{21}^A$ para el mismo punto y en el mismo instante especificado en el apartado anterior.