Problemas de Inducción electromagnética

De Laplace

Contenido

1 Barra que se mueve en un campo uniforme
2 Espira cuadrada rotatoria en un campo magnético
3 Conductor que se desplaza sobre otro
4 Barra deslizante sobre raíles
5 Barra resistiva deslizante
6 Espira con barra deslizante y generador real
7 Frenado de espira cuadrada
8 Espira cuadrada en campo no uniforme
9 Espira doble rotatoria
10 Circuito en torno a un solenoide
11 Espira cuadrada en torno a solenoide
12 Campo eléctrico inducido por un cable grueso
13 Pequeña espira junto a hilo
14 Pulso de corriente inducida
15 Espira circular en un campo variable
16 Inducción mutua de dos anillos
17 Generador de CA de dos anillos
18 Circuito LC ideal
19 Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos
20 Sistema de dos bobinas reales
21 Bobina con dos bobinas interiores
22 Inducción mutua de dos solenoides cuadrados
23 Amperímetro de inducción
24 Barra que cae en un campo magnético
25 Solenoide que se mueve en el interior de otro

1 Barra que se mueve en un campo uniforme

Una barra metálica de longitud $a=10\,\mathrm{cm}$ se mueve en el interior de un campo magnético uniforme $\mathbf{B}_0$ ( $B_0=10\,\mathrm{mT}$ ) con velocidad constante $\mathbf{v}$ , siendo $\mathbf{v}$ perpendicular tanto al eje de la varilla como al campo magnético y de módulo $v=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calcule la fuerza magnética sobre una carga $q\,$ de la varilla. ¿Hacia donde se mueven las cargas positivas y negativas de la varilla?
La separación de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza eléctrica debido a dicha separación compensa exactamente la fuerza magnética. Usando esto, halle el campo eléctrico en el interior de la varilla.
Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.
Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnético. Compruebe que coincide con el voltaje calculado en el apartado anterior.

2 Espira cuadrada rotatoria en un campo magnético

Una espira cuadrada de lado $a=2\,\mathrm{cm}$ , de hilo de cobre de sección $A=0.5\,\mathrm{mm}^2$ gira con frecuencia $f=400\,\mathrm{Hz}$ en el interior de un campo magnético uniforme de módulo $B_0=200\,\mathrm{mT}$ . El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

Determine la corriente que se induce en la espira.
Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.

3 Conductor que se desplaza sobre otro

Se construye un sistema con dos hilos metálicos doblados en forma de L. Ambos hilos son de un material de conductividad $\sigma\,$ y sección $A\,$ . Uno de los conductores ("1") es fijo, mientras que el segundo ("2") puede deslizarse manteniendo el contacto con el primero y su orientación, de forma que entre ambos conductores definen un rectángulo de base $a\,$ y altura $b\,$ , siendo $x = 0$ , $y = 0$ la esquina del conductor fijo. El conductor móvil se desplaza con velocidad constante, de forma que

$a = x_0+v_x t\qquad b=y_0+v_y t$

Todo el sistema está sometido a un campo magnético no uniforme $\mathbf{B}=Cxy\mathbf{u}_{z}$ , perpendicular al plano de los conductores.

Calcule la corriente que circula por el sistema en cada instante. Desprecie el efecto de la autoinducción.
Halle la fuerza que se ejerce sobre el conductor móvil

4 Barra deslizante sobre raíles

Se tienen dos raíles paralelos, perfectamente conductores, de longitud $2 L$ separados una distancia $a$ , tal como se indica en la figura. Los extremos de los raíles están conectados por sendas resistencias $R 1$ y $R 2$ . Sobre ellos se desliza una barra también perfectamente conductora de longitud $b$ . La barra se desplaza con velocidad constante $\mathbf{v}=V\mathbf{u}_{x}$ . En el espacio entre los raíles hay aplicado un campo magnético uniforme perpendicular al plano de los raíles, $\mathbf{B} = B_0\mathbf{u}_{z}$ .

Calcule la corriente que circula por la barra.
Calcule la fuerza ejercida sobre la barra por el campo magnético.
Halle la potencia disipada por efecto Joule.

5 Barra resistiva deslizante

Tres barras de longitud $a$ con resistencias $R 1$ , $R 2$ y $R 3$ se encuentran conectadas por raíles perfectamente conductores (ver figura). La barra 1 y la 3 están en reposo, separadas una distancia $b$ , pero la 2 se mueve hacia la derecha con velocidad $v 0$ , siendo su distancia a la primera barra una cantidad $x (t)$ . Todo el sistema se encuentra sumergido en un campo magnético uniforme $\mathbf{B}_0$ perpendicular al circuito.

Calcule la corriente que circula por cada barra, así como el voltaje entre los extremos de cada una de ellas.
Calcule la potencia disipada en el circuito por efecto Joule.
Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la barra central. ¿Qué potencia desarrolla esta fuerza?
Considere el caso en el que la resistencia 1 es un amperímetro ( $R_1\to 0$ ) y la 3 un voltímetro ( $R_3\to\infty$ ). ¿Qué corriente marca el amperímetro y que voltaje el voltímetro?

6 Espira con barra deslizante y generador real

Una espira plana rectangular de autoinducción despreciable está formada por dos raíles perfectamente conductores de longitud

b

, separados una distancia

a

. Los raíles están conectados por uno de sus extremos a una resistencia eléctrica de valor

R

(resistencia de carga) y por el otro a un generador real de fuerza electromotriz constante $\mathcal{E}_0$ y resistencia interna

R g

, según se muestra en la figura. Además, una barra perfectamente conductora se mueve con velocidad constante $\mathbf{v}$ , manteniéndose siempre en contacto con los raíles y perpendicular a ellos. La espira se encuentra sometida a un campo magnético constante y uniforme $\mathbf{B}_0$ , perpendicular al plano que contiene a la espira.

Obtenga las fuerzas electromotrices totales en cada malla del circuito y las intensidades de corriente eléctrica que recorren las diferentes ramas.
Calcule la fuerza magnética ejercida sobre la barra móvil, así como la fuerza exterior que se la ha de aplicar para que se mueva según las condiciones del enunciado. Describa la dependencia del sentido de esta fuerza con la velocidad y el sentido de movimiento de la barra.
Realice un balance energético en el sistema: calcule la potencia disipada por efecto Joule en la resistencia de carga, la potencia suministrada por el generador real al resto del sistema y el trabajo que por unidad de tiempo realiza la fuerza externa (potencia mecánica).
La potencia eléctrica suministrada por el generador real y la potencia mecánica realizada por la fuerza exterior, ¿son siempre positivas? Analice cómo depende el signo de éstas de la rapidez y sentido de movimiento de la barra y explique en cada caso dónde se produce y dónde se absorbe la energía en el sistema.

7 Frenado de espira cuadrada

Una espira cuadrada de lado $a=10\,\mathrm{cm}$ , hecha de un hilo de cobre de sección $A=1\,\mathrm{mm}^2$ penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo $B_0=30\,\mathrm{mT}$ . La espira se mueve inicialmente con velocidad $v_0=0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tangente a uno de sus lados y perpendicular al campo magnético. En $t = 0$ la espira entra en el campo.

Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia $x\,$ y se está moviendo con velocidad $v\,$ .
Halle la fuerza que el campo magnético ejerce con la espira.
Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determine la evolución en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.

8 Espira cuadrada en campo no uniforme

En una región del espacio existe un campo magnético

$\mathbf{B}=2Cxz\mathbf{u}_x + C(x^2-z^2)\mathbf{u}_z$

Una espira cuadrada de lado $a$ y resistencia $R$ se encuentra situada en el plano $z = 0$ con sus lados paralelos a los ejes. La espira se mueve de forma que su extremo trasero se encuentra en la posición $x = v 0 t$ .

Calcule la corriente que circula por la espira.
Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la espira.
Calcule la potencia disipada en la espira y la energía total disipada durante un tiempo $T$ .

9 Espira doble rotatoria

Se construye una espira doble, soldando una barra a una espira cuadrada de lado $3a\,$ . La barra une dos lados opuestos y está situada a una distancia $a\,$ de uno de los lados. Tanto la barra como la espira cuadrada están hechas de un alambre metálico de sección $A$ y conductividad $σ$ .

La espira gira en torno de la barra con velocidad angular $ω$ , en el seno de un campo magnético uniforme $\mathbf{B}_0$ , perpendicular a la barra. En $t = 0$ el plano de la espira es perpendicular al campo magnético.

Calcule la corriente que circula en cada alambre como función del tiempo.
Halle la energía disipada en un periodo de revolución. ¿En qué se va esta energía? ¿De donde procede?

10 Circuito en torno a un solenoide

Se tiene un solenoide largo de sección $S\,$ , por el cual circula una corriente variable en el tiempo $K 0 (t)$ . Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos $A\,$ y $B\,$ , diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias $R_1\,$ y $R_2\,$ , tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?

11 Espira cuadrada en torno a solenoide

Una espira cuadrada de lado $b$ , de resistencia $R$ y autoinducción despreciable rodea concéntricamente a un solenoide circular largo, de radio $a$ , de longitud $h$ ( $h\gg a$ ) y $N$ espiras. Por el solenoide circula una corriente constante $I b 0$ , que a partir de $t = 0$ comienza a decaer exponencialmente como

$I_b(t) = I_{b0} \mathrm{e}^{-\lambda t}\,$

Sabiendo que el campo magnético en el interior del solenoide es aproximadamente uniforme, calcule la corriente que circula por la espira cuadrada como función del tiempo.
Halle la carga que pasa por un punto de la espira durante todo el periodo $t > 0$ .
Halle la potencia instantánea disipada por efecto Joule en la espira, así como la energía total disipada en el periodo $t > 0$ .
Suponga ahora la misma situación descrita anteriormente, pero considere que la espira posee una autoinducción no despreciable $L$ y que inicialmente no circula corriente por ella. Para $t > 0$ la corriente que pasa por la espira es de la forma

$I_e = C \mathrm{e}^{-\lambda t} + D \mathrm{e}^{-Rt/L}\,$

Calcule las constantes

C

y

D

, así como la carga que pasa por un punto de la espira en el periodo

t > 0

y la energía total disipada en el mismo periodo.

12 Campo eléctrico inducido por un cable grueso

Por un hilo rectilíneo cilíndrico de radio $a$ y gran longitud circula una corriente alterna de baja frecuencia $\mathbf{J}=J_0\cos(\omega t)\mathbf{u}_z$ .

Halle el campo magnético producido por este hilo, tanto en su interior como en su exterior, suponiendo que la corriente es casi estacionaria.
Halle el campo eléctrico inducido por este campo magnético tanto en el interior del cable como en su exterior, suponiendo que $\mathbf{E} = E(\rho,t)\mathbf{u}_z$ y que en el eje del cilindro el campo eléctrico es nulo.
Calcule la densidad de corriente de desplazamiento en el interior y el exterior del hilo.

13 Pequeña espira junto a hilo

Un conductor cilíndrico de radio muy pequeño $a$ y longitud indefinida es recorrido por una corriente continua $I 0$ . Una espira cuadrada muy pequeña, de lado $b$ , resistencia $R$ y autoinducción despreciable, es coplanaria con el hilo y se encuentra situada a una distancia $y$ de éste ( $y \gg b$ ).

Calcule, detallando los pasos, el campo magnético producido por el hilo en su exterior
Si por la espira circula una corriente $I 1$ , ¿qué fuerza ejerce el hilo sobre ella?
Suponga que la espira se aleja del hilo, sin cambiar su orientación, de modo que $y = y 0 + v 0 t$ , ¿cuánto vale la corriente $I 1$ inducida en la espira en un instante $t$ ? ¿Y la fuerza que el hilo ejerce sobre ella?

14 Pulso de corriente inducida

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica $R 1$ circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

$I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}$

Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre $t\to -\infty$ y $t\to\infty$ .
Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.
Junto al cable y coplanaria con él se encuentra una pequeña espira cuadrada de lado $a$ con su centro situado a una distancia $b$ ( $b\gg a$ ) del hilo. Esta espira posee resistencia $R 2$ y autoinducción despreciable. Calcule la corriente inducida en esta espira como función del tiempo.
Halle la carga que pasa por un punto de la espira entre $t\to -\infty$ y $t\to\infty$ .
Calcule la energía disipada en la espira en el mismo tiempo.

15 Espira circular en un campo variable

Una espira circular de radio $a\,$ , con autoinducción $L\,$ y resistencia $R\,$ , se encuentra sometida a un campo magnético uniforme en el espacio pero variable en el tiempo. El campo es perpendicular al plano de la espira.

Calcule la corriente que circula por la espira si el campo magnético varía en el tiempo, durante un largo intervalo, como

$\mathbf{B}(t) = A t \mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{B}(t) = A t^2 \mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{B}(t) = A \mathrm{sen}(\omega t) \mathbf{u}_{z}$

16 Inducción mutua de dos anillos

Se tienen dos anillos metálicos. Ambos anillos están centrados en el origen de coordenadas. Uno de ellos posee radio $b\,$ y está situado en el plano $X Y$ . El otro, de radio $a\,$ , está inclinado, de forma que su normal forma un ángulo $\theta\,$ con el eje $z\,$ . El radio $b\,$ es mucho mayor que $a\,$ .

Determine el coeficiente de inducción mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo del anillo exterior a través del anillo interior (tenga en cuenta que éste es muy pequeño) cuando por el anillo exterior circula una corriente $I 1$ .
Halle el coeficiente de inducción mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que es prácticamente un dipolo) a través del anillo exterior cuando por el anillo interior circula una corriente $I 2$ . ¿Son iguales los dos coeficientes?

17 Generador de CA de dos anillos

Suponga la misma configuración geométrica del problema anterior Por el anillo exterior se hace circular una corriente constante $I 0$ . El anillo interior se hace girar en torno al diámetro común, de forma que el ángulo $θ$ varía con velocidad constante $ω$ .

Despreciando los efectos de la autoinducción, halle la corriente que circula por el anillo interior.
Calcule la energía disipada en este anillo durante un periodo de revolución.

18 Circuito LC ideal

Considérese un sistema formado por un condensador de placas circulares planas y paralelas, de radio $b$ y separadas una distancia $a$ , entre las cuales hay vacío. Las placas del condensador están conectadas a los extremos de una bobina cilíndrica de radio $c$ , longitud $h$ y N espiras. Un interruptor mantiene abierto el circuito

Suponga en primer lugar que todos los cables son ideales, de forma que no tienen resistencia alguna.

El condensador se encuentra inicialmente cargado con una carga $Q 0$ el interruptor se encuentra abierto. En $t = 0$ se cierra el circuito

Determine la evolución en el tiempo de la carga en el condensador y la corriente en la bobina
Calcule el campo eléctrico en el interior del condensador y magnético en la bobina, como función del tiempo.
Calcule la energía eléctrica y la energía magnética almacenada en el circuito.
Halle la energía total almacenada en el sistema.

19 Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos

Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concntricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud $h\,$ y número de espiras $N 1$ y $N 2$ , respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, $a$ y $b$ ( $a < b$ ).

Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
Suponga que se conectan en paralelo, ¿cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?

20 Sistema de dos bobinas reales

Se arrolla un hilo de cobre de sección circular de diámetro $d_1=1\,\mathrm{mm}$ y longitud $l_1=30\,\mathrm{m}$ sobre un cilindro de cartón (no magnético) de radio $a=1.5\,\mathrm{cm}$ . El hilo se arrolla densamente, de forma que no queden intersticios entre vuelta y vuelta. Sobre esta capa (el primario) se arrolla otra (el secundario), en el mismo sentido, de hilo de cobre de diámetro $d_2=0.5\,\mathrm{mm}$ y longitud $l_2=60\,\mathrm{m}$ . Los extremos del secundario se dejan en circuito abierto, mientras que los del primario se conectan a una fuente de intensidad que proporciona una corriente constante $I_0=100\,\mathrm{mA}$ . En $t = 0$ se cortocircuita la fuente de intensidad mediante un hilo de resistencia despreciable.

Calcule las resistencias y los coeficientes de inducción mutua y autoinducción del sistema de dos bobinas.
Determine la expresión de la corriente que circula por el primario como función del tiempo, una vez que se ha cortocircuitado la fuente. ¿Cuánto tiempo tarda, aproximadamente, en desaparecer la corriente?
Calcule el voltaje $Δ V 2 (t)$ que mide un voltímetro situado entre los extremos del secundario.
Calcule la energía total disipada en el sistema durante el periodo transitorio en que la corriente se está atenuando hasta desaparecer.
Determine, por aplicación de la ley de Faraday, el campo eléctrico que se induce durante el transitorio, tanto en el interior del cilindro como en puntos exteriores próximos a éste, sabiendo que es de la forma $\mathbf{E}=E(\rho)\mathbf{u}_\varphi$ .

21 Bobina con dos bobinas interiores

Se tiene un sistema de tres solenoides formado por una bobina de radio $4 a$ , gran longitud $h$ y $N$ vueltas. En el interior de esta bobina se encuentran, separadas, dos bobinas de radio $a$ , misma longitud y mismo número de vueltas. Las ejes de las dos bobinas interiores se encuentran a una distancia $2 a$ del de la grande. Las tres bobinas están arrolladas en el mismo sentido.

Halle la matriz de coeficientes de autoinducción y de inducción mutua en este sistema. Desprecie los efectos de borde.
Suponga que se conectan en serie las tres bobinas, de forma que por la bobina exterior circula una corriente $+ I$ y por las dos interiores una corriente $- I$ . Exprese el campo magnético en todos los puntos del espacio para esta configuración
Para el caso anterior, halle la energía magnética almacenada en el sistema. ¿Cuánto vale la autoinducción equivalente de la asociación?

22 Inducción mutua de dos solenoides cuadrados

Se tienen dos solenoides de sección cuadrada de lado $b\,$ de un hilo ideal sin resistencia. La longitud de ambos solenoides es $h\,$ ( $h\gg b$ ) y el número de vueltas es $N 1 = N$ y $N 2 = 2 N$ , respectivamente. Ambos solenoides se colocan de forma que intersecan en una sección cuadrada de lado $a$ , tal como muestra la figura.

Halle los coeficientes de autoinducción, de inducción mutua y de acoplamiento.
Sin mover los solenoides de sitio, el sistema se conecta a un circuito. Para el caso $a = b / 3$ , halle todas las posibles autoinducciones equivalentes que se pueden obtener con este sistema, teniendo en cuenta que los solenoides pueden conectarse entre sí, cortocircuitarse con un hilo ideal o dejarse en circuito abierto.

23 Amperímetro de inducción

Un amperímetro de inducción consiste en un solenoide toroidal (de resistencia despreciable y autoinducción $L\,$ ), que se sitúa en torno a la corriente que se pretende medir.

Suponga un toroide de radio medio $b$ y sección cuadrada pequeña de lado $a$ ( $a\ll b$ ), con $N$ espiras arrolladas sobre un núcleo de permeabilidad $μ$ (en este problema, ello solo supone cambiar $μ 0$ por $μ$ ). Calcule el coeficiente de autoinducción de este solenoide, a partir del campo que se crea en su interior cuando por el solenoide circula una corriente $I$ . Suponga que dentro del solenoide $\mathbf{B}$ es de la forma $\mathbf{B}=B_0\mathbf{u}_{\varphi}$ con $B 0$ uniforme.
El solenoide anterior se coloca concéntricamente con un hilo rectilíneo por el cual circula una corriente $I 0 cos(ω t)$ . Calcule la fuerza electromotriz que el hilo induce en el solenoide.
Despreciando la resistencia del solenoide (pero no su autoinducción), hállese la amplitud de la corriente que circula por el solenoide.
Esta amplitud es proporcional a la de la corriente del hilo, ¿cuánto vale la constante de proporcionalidad para un toroide de radio medio 2cm, y lado 2mm, con 300 espiras y con un núcleo de permeabilidad $\mu=10^{-4}\,\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ?

24 Barra que cae en un campo magnético

La figura representa un carril metálico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla horizontal, también superconductora. Esta varilla está inmersa en un campo uniforme $\mathbf{B}_0$ y cae por la acción de la gravedad.

Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento se suelta. Determine la ecuación de movimiento y la posición de la varilla en función del tiempo si el circuito está cerrado por:

Una resistencia $R\,$
Un condensador $C\,$
Una autoinducción $L\,$ .

Estudie en cada caso el balance energético del sistema.

25 Solenoide que se mueve en el interior de otro

Dos estrechas bobinas cilíndricas de la misma longitud $h\,$ , tienen radios $a\,$ y $b\,$ , mucho menores que su longitud $a<b\ll h$ ); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud $s\,$ , y están formadas por la misma cantidad de espiras compactas $N=nh\,$ , enrolladas en el mismo sentido. Las resistencias eléctricas de las bobinas son $R_1\,$ para la bobina interior y $R_2\,$ para la exterior.

Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinducción $L 1$ y $L 2$ , así como el de inducción mutua $M$ y el de acoplamiento $k$ .
La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampa $\mathcal{E} = A t$ , mientras que la bobina interna se mantiene en circuito abierto. Obtenga el comportamiento en el tiempo de la intensidad $I 2 (t)$ en la bobina exterior (suponga una expresión de la forma $I 2 = k t + c$ ).
Al mismo tiempo, la bobina interior se extrae con velocidad constante $v 0$ , de forma que $s = v 0 t$ . Calcule la tensión $V 1 (t)$ entre los extremos de esta bobina para $t > 0$ .