Bobina con dos bobinas interiores

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Matriz de inducción
3 Campo magnético
4 Energía magnética
- 4.1 Empleando la matriz
- 4.2 A partir de la densidad de energía

1 Enunciado

Se tiene un sistema de tres solenoides formado por una bobina de radio $4 a$ , gran longitud $h$ y $N$ vueltas. En el interior de esta bobina se encuentran, separadas, dos bobinas de radio $a$ , misma longitud y mismo número de vueltas. Las ejes de las dos bobinas interiores se encuentran a una distancia $2 a$ del de la grande. Las tres bobinas están arrolladas en el mismo sentido.

Halle la matriz de coeficientes de autoinducción y de inducción mutua en este sistema. Desprecie los efectos de borde.
Suponga que se conectan en serie las tres bobinas, de forma que por la bobina exterior circula una corriente $+ I$ y por las dos interiores una corriente $- I$ . Exprese el campo magnético en todos los puntos del espacio para esta configuración
Para el caso anterior, halle la energía magnética almacenada en el sistema. ¿Cuánto vale la autoinducción equivalente de la asociación?

2 Matriz de inducción

Un elemento de la matriz de coeficientes de autoinducción e inducción mutua, $L i k$ se calcula como

$L_{ik}=\frac{\Phi_i}{I_k}$

siendo $Φ i$ el flujo a través de la espira $i$ cuando por la espira $j$ circula una corriente $I j$ y por el resto no circula corriente alguna.

En este sistema tenemos tres boninas. Denominaremos “1” a la exterior y “2” y “3” a las interiores. Por la simetría de la matriz tenemos

$L_{12}=L_{21}\,$ $L_{13}=L_{31}\,$ $L_{23}=L_{23}\,$

y por la simetría entres la bobinas 2 y 3 tenemos además

$L_{12}=L_{13}\,$ $L_{22}=L_{33}\,$ $L_{23}=L_{23}\,$

lo que nos deja con solo cuatro elementos diferentes

$\mathsf{L}=\begin{pmatrix}L_{11} & L_{12} & L_{12} \\ L_{12}& L_{22} & L_{23} \\ L_{12} & L_{23} & L_{22}\end{pmatrix}$

2.1 Coeficiente L₁₁

El coeficiente $L 11$ lo obtenemos suponiendo que por la bobina exterior circula una corriente $I 1$ y por las demas no circula corriente. Esto quiere decir que las dos bobinas interiores no producen campo magnético alguno y pueden ser ignoradas para este cálculo.

Cuando se desprecian los efectos de borde y se supone que una bobina es de gran longitud, el campo magnético que produce es, aproximadamente,

$\mathbf{B}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho<R \\ & \\ \mathbf{0} & \rho > R\end{cases}$

El flujo que atraviesa la bobina 1 será igual a $N$ veces el flujo a través de cada una de las espiras que lo componen

$\Phi_1= N\phi_i = N\left(\frac{\mu_0NI}{h}\right)\pi (4a)^2 = \frac{16\mu_0N^2\pi a^2}{h}I$

de donde el coeficiente es

$L_{11}=\frac{16\mu_0N^2\pi a^2}{h}$

Este es un caso particular de la fórmula $L = μ N 2 S / h$ , que figura en la tabla.

2.2 Coeficiente L₂₂

Usando el mismo razonamiento obtenemos los coeficientes $L 22$ y $L 33$ , cambiando $4 a$ por $a$ :

$L_{22}=L_{33}=\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}$

2.3 Coeficiente L₁₂

Para hallar el coeficiente $L 21$ (igual al $L 12$ por la simetría de la matriz), necesitamos conocer el flujo a través de la bobina pequeña del campo debido a la bobina grande. Puesto que la bobina pequeña se encuentra completamente en el interior de la grande, el campo magnético de ésta la atraviesa completamente, resultando un flujo magnético

$\Phi_{21}=N\left(\frac{\mu_0NI}{h}\right)(\pi a^2)$

con lo que el coeficiente es

$L_{12}=L_{13}=L_{21}=L_{31}=\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}$

2.4 Coeficiente L₂₃

Por último, para el coeficiente $L 32$ necesitamos conocer el flujo a través de una de las bobina pequeñas del campo debido a la otra bobina pequeña. Puesto que la bobina pequeña se encuentra completamente en el exterior de la otra, el campo magnético de ésta no la atraviesa en absoluto (ya que el campo magnético producido por una bobina ideal es nulo fuera de ellas). Por tanto

$\Phi_{23}=N\left(0\right)(\pi a^2)=0$

con lo que el coeficiente es

$L_{23}=L_{32}=0\,$

2.5 Matriz

Reuniendo todos los resultados tenemos la matriz de coeficientes de autoinducción y de inducción mutua

$\mathsf{L}=\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}\begin{pmatrix}16 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$

3 Campo magnético

Cuando por las tres bobinas circulan corrientes el campo es la superposición de los campos individuales. Cada uno es de la forma indicada anteriormente. Teniendo en cuenta que las corrientes son $\pm I$ :

$\mathbf{B}_1=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho_1<4a \\ & \\ \mathbf{0} & \rho_1 > 4a\end{cases}$ $\mathbf{B}_2=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho_2<a \\ & \\ \mathbf{0} & \rho > a\end{cases}$ $\mathbf{B}_3=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho_3<a \\ & \\ \mathbf{0} & \rho_3 > a\end{cases}$

donde $ρ i$ es la distancia al eje de cada bobina.

La suma de estos tres campos la podemos hacer por regiones:

Exterior de la bobina grande: Los tres campos son nulos y por tanto

$\mathbf{B}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2+\mathbf{B}_3 = \mathbf{0}$

Exterior de las pequeñas e interior de la grande: Para $ρ 1 < 4 a$ , $ρ 2 > a$ y $ρ 3 > a$ los campos de las bobinas pequeñas son nulas, no así el de la grande, por lo que

$\mathbf{B}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2+\mathbf{B}_3 = \frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z+\mathbf{0}+\mathbf{0}=\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z$

Interior de una bobina pequeña: Dentro de la bobina dos tenemos que $ρ 1 < 4 a$ y $ρ 2 < a$ , pero $ρ 3 > a$ con lo que el campo total es

$\mathbf{B}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2+\mathbf{B}_3 = \frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z-\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z+\mathbf{0}=\mathbf{0}$

Lo mismo ocurrirá en el interior de la bobina 3.

Por tanto, el campo es nulo en todos los puntos del espacio, salvo en los puntos interiores de la bobina grande, excluidos los puntos de la bobina pequeño.

4 Energía magnética

Para hallar la energía magnética podemos usar dos métodos, igualmente sencillos: A partir de la matriz o integrando la densidad de la energía magnética.

4.1 Empleando la matriz

En términos de la matriz de coeficientes de autoinducción, la energía magnética almacenada en un sistema de corrientes es

$U_\mathrm{m} = \frac{1}{2}\mathbf{I}\cdot\mathsf{L}\mathbf{I}$

que en este caso nos da

$U_\mathrm{m}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}\right)\begin{pmatrix}I & -I & -I\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}16 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I \\ -I \\ -I\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\left(\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}\right)I^2$

Identificando esta expresión con la energía de un único solenoide

$U_\mathrm{m}=\frac{1}{2}L_\mathrm{eq}I^2$

obtenemos la autoinducción equivalente

$L_\mathrm{eq}=\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}$

4.2 A partir de la densidad de energía

Podemos calcular la energía magnética integrando la densidad de energía

$U_\mathrm{m}=\int u_\mathrm{m}\,\mathrm{d}\tau = \int \frac{B^2}{2\mu_0}\,\mathrm{d}\tau$

Esta integral se extiende a todo el espacio. Sin embargo, según hemos visto arriba, el campo magnético en este caso es nulo salvo en el interior de la bobina grande menos las dos pequeñas. Además, en la región donde no es nulo, es uniforme, por lo que la integral vale

$U_\mathrm{m}=\frac{1}{2\mu_0}\left(\frac{\mu_0NI}{h}\right)^2(16a^2h-a^2h-a^2h) = \frac{1}{2}\left(\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}\right)I^2$

y llegamos de nuevo a la autoinducción equivalente:

$L_\mathrm{eq}=\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}$

Bobina con dos bobinas interiores

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Matriz de inducción

2.1 Coeficiente L₁₁

2.2 Coeficiente L₂₂

2.3 Coeficiente L₁₂

2.4 Coeficiente L₂₃

2.5 Matriz

3 Campo magnético

4 Energía magnética

4.1 Empleando la matriz

4.2 A partir de la densidad de energía

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES

Bobina con dos bobinas interiores

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Matriz de inducción

2.1 Coeficiente L11

2.2 Coeficiente L22

2.3 Coeficiente L12

2.4 Coeficiente L23

2.5 Matriz

3 Campo magnético

4 Energía magnética

4.1 Empleando la matriz

4.2 A partir de la densidad de energía

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES

2.1 Coeficiente L₁₁

2.2 Coeficiente L₂₂

2.3 Coeficiente L₁₂

2.4 Coeficiente L₂₃