Pulso de corriente inducida

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Carga que recorre el hilo
3 Energía disipada en el hilo
4 Corriente inducida
5 Carga que recorre la espira
6 Energía disipada en la espira

1 Enunciado

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica $R 1$ circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

$I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}$

Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre $t\to -\infty$ y $t\to\infty$ .
Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.
Junto al cable y coplanaria con él se encuentra una pequeña espira cuadrada de lado $a$ con su centro situado a una distancia $b$ ( $b\gg a$ ) del hilo. Esta espira posee resistencia $R 2$ y autoinducción despreciable. Calcule la corriente inducida en esta espira como función del tiempo.
Halle la carga que pasa por un punto de la espira entre $t\to -\infty$ y $t\to\infty$ .
Calcule la energía disipada en la espira en el mismo tiempo.

2 Carga que recorre el hilo

La carga que pasa por una sección del hilo en un tiempo $d t$ es

$\mathrm{d}Q=I(t)\,\mathrm{d}t$

Por lo que la carga total que pasa vale

$Q= \int_{-\infty}^\infty I(t)\,\mathrm{d}t$

En este caso, tenemos que la corriente es nula salvo en el intervalo $0 < t < T$ por lo que el cálculo se reduce a

$Q = \int_0^T I(t)\,\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\int_0^T (tT-t^2)\mathrm{d}t = \frac{I_0}{T^2}\left(\frac{T^3}{2}-\frac{T^3}{3}\right) = \frac{I_0T}{6}$

3 Energía disipada en el hilo

La energía disipada se calcula de forma análoga a partir de la potencia

$W_d = \int_0^T I^2R_1\,\mathrm{d}t = \frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (tT-t^2)^2\mathrm{d}t =$ $\,\,\frac{I_0^2R_1}{T^4}\int_0^T (t^2T^2-2t^3T+t^4)\mathrm{d}t=\frac{I_0^2R_1}{T^4}\left(\frac{T^5}{3}-2\frac{T^5}{4}+\frac{T^5}{5}\right) = \frac{I_0^2TR_1}{30}$

4 Corriente inducida

La corriente inducida la obtenemos por aplicación de la ley de Faraday

$I_2=-\frac{1}{R_2}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

El flujo magnético lo calculamos a partir del campo producido por el hilo

$\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi\rho}\mathbf{u}_\varphi$

Puesto que la espira es muy pequeña, podemos suponer que $ρ = b$ para todos sus puntos. Asimismo, en la posición de la espira, el campo magnético apunta en la dirección hacia adentro del plano, que es la marcada por $\mathbf{u}_y$ . Por ello

$\mathbf{B}_1\simeq\frac{\mu_0I_1}{2\pi b}\mathbf{u}_y$

Tomando un sentido de recorrido de la espira tal que la normal a la superficie es también $\mathbf{u}_y$ nos queda

$\Phi_m = \int_{S_2}\mathbf{B}_1\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}_2 = \frac{\mu_0I_1a^2}{2\pi b}$

Esta función depende del tiempo porque lo hace la corriente que pasa por el hilo, por ello la corriente inducida es

$I_2 = -\frac{\mu_0a^2}{2\pi b R_2}\,\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}$

Sustituyendo la expresión de $I 1$

$I_2 = \begin{cases}\displaystyle -I_{20}\left(1-\frac{2t}{T}\right) & 0 < t < T \\ & \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}\qquad I_{20}=\frac{\mu_0a^2I_0}{2\pi b R_2T}$

Esta función es nula en todo instante salvo en el intervalo $(0, T)$ , en el cual tiene forma de rampa. Inicialmente el flujo está aumentando, por lo que la corriente inducida tiende a disminuirlo. Posteriormente el flujo disminuye, por lo que la corriente tiende a aumentarlo.

5 Carga que recorre la espira

La carga se calcula de la misma manera que en el primer apartado

$Q_2 = \int_{-\infty}^{\infty}I_2\,\mathrm{d}t$

De la simetría impar de la función $I 2 (t)$ respecto al centro del periodo, es fácil ver que esta integral va a ser nula.

Es más directo y general hallarlo de la forma siguiente

$Q_2 = \int_{-\infty}^{\infty}I_2\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{R_2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = -\frac{\Delta\Phi_m}{R_2}$

siendo $ΔΦ m$ el incremento de flujo entre el instante final y el inicial. Puesto que tanto en $t\to+\infty$ como en $t\to-\infty$ el flujo magnético es nulo, deducimos que

$Q_2 = -\frac{\Delta\Phi_m}{R_2} = 0$

6 Energía disipada en la espira

La energía disipada en la espira, en cambio, no es nula. Aplicando de nuevo la ley de Joule

$W_d = \int_{-\infty}^\infty I_2^2R_2\,\mathrm{d}t=I_{20}^2R_2\int_0^T\left(1-\frac{2t}{T}\right)^2\,\mathrm{d}t = \frac{I_{20}^2R_2T}{3}$

Pulso de corriente inducida

De Laplace

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1 Enunciado

2 Carga que recorre el hilo

3 Energía disipada en el hilo

4 Corriente inducida

5 Carga que recorre la espira

6 Energía disipada en la espira

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