Solenoide que se mueve en el interior de otro

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Coeficientes de inducción mutua y autoinducción
- 2.1 Coeficientes de autoinducción
- 2.2 Coeficiente de inducción mutua
3 Corriente inducida
4 Tensión en la bobina

1 Enunciado

Dos estrechas bobinas cilíndricas de la misma longitud $h\,$ , tienen radios $a\,$ y $b\,$ , mucho menores que su longitud $a<b\ll h$ ); las bobinas son coaxiales pero se hallan desplazadas una longitud $s\,$ , y están formadas por la misma cantidad de espiras compactas $N=nh\,$ , enrolladas en el mismo sentido. Las resistencias eléctricas de las bobinas son $R_1\,$ para la bobina interior y $R_2\,$ para la exterior.

Despreciando los efectos de borde, determine sus respectivos coeficientes de autoinducción $L 1$ y $L 2$ , así como el de inducción mutua $M$ y el de acoplamiento $k$ .
La bobina exterior se halla conectada a un generador de fuerza electromotriz en rampa $\mathcal{E} = A t$ , mientras que la bobina interna se mantiene en circuito abierto. Obtenga el comportamiento en el tiempo de la intensidad $I 2 (t)$ en la bobina exterior (suponga una expresión de la forma $I 2 = k t + c$ ).
Al mismo tiempo, la bobina interior se extrae con velocidad constante $v 0$ , de forma que $s = v 0 t$ . Calcule la tensión $V 1 (t)$ entre los extremos de esta bobina para $t > 0$ .

2 Coeficientes de inducción mutua y autoinducción

2.1 Coeficientes de autoinducción

Si suponemos despreciables los efectos de borde, de forma que se puede suponer que, para cada bobina

$\mathbf{B}=\begin{cases} \mu_0 n I\mathbf{u}_z & \mathbf{r}\in\tau \\ \mathbf{0} & \mathbf{r}\not\in\tau\end{cases}$

siendo $τ$ el volumen interior a cada una.

A partir de este campo obtenemos los coeficientes de autoinducción

$L_1 =\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}$ $L_2 =\frac{\mu_0N^2\pi b^2}{h}$

2.2 Coeficiente de inducción mutua

Para hallar el coeficiente de inducción mutua debemos tener en cuenta que no toda la bobina interior está dentro de la exterior y por tanto a la hora de hallar el flujo, debemos contar un número de espiras menor a N, en proporción a la longitud sumergida.

$\Phi = \left(\frac{N s}{h}\right)\Phi_i = \frac{\mu_0 N^2\pi a^2 s}{h^2}I$

de donde obtenemos el coeficiente

$M = \frac{\mu_0 N^2\pi a^2s}{h^2}$

En forma matricial

$\left(L_{ikl}\right) = \frac{\mu_0N^2\pi a}{h}\begin{pmatrix} a^2 & a^2s/h \\ a^2s/h & b^2\end{pmatrix}$

3 Corriente inducida

4 Tensión en la bobina

Solenoide que se mueve en el interior de otro

De Laplace

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1 Enunciado

2 Coeficientes de inducción mutua y autoinducción

2.1 Coeficientes de autoinducción

2.2 Coeficiente de inducción mutua

3 Corriente inducida

4 Tensión en la bobina

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