Espira circular en un campo variable

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una espira circular de radio $a\,$ , con autoinducción $L\,$ y resistencia $R\,$ , se encuentra sometida a un campo magnético uniforme en el espacio pero variable en el tiempo. El campo es perpendicular al plano de la espira.

Calcule la corriente que circula por la espira si el campo magnético varía en el tiempo, durante un largo intervalo, como

$\mathbf{B}(t) = A t \mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{B}(t) = A t^2 \mathbf{u}_{z}$
$\mathbf{B}(t) = A \mathrm{sen}(\omega t) \mathbf{u}_{z}$

2 Solución

2.1 Planteamiento general

En todos los casos por la espira circula una corriente debida a la presencia de una fuerza electromotriz causada por el cambio en el flujo magnético

$I=\frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Este flujo magnético es la superposición de dos contribuciones: la debida al campo externo y la debida a la propia espira. Ésta última es proporcional a la corriente que circula por la espira

$\Phi_m = \int_S\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_S\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} + LI$

lo que da la ecuación diferencial

$IR=-\frac{\mathrm{d}\Phi_\mathrm{ext}}{\mathrm{d}t}-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}$

o, reordenando términos

$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR=-\frac{\mathrm{d}\Phi_\mathrm{ext}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{E}_\mathrm{ext}$

En términos del circuito equivalente, este sencillo sistema equivale a tres elementos de circuito: una resistencia $R$ , una autoinducción $L$ y un generador de f.e.m. $\mathcal{E}_\mathrm{ext}$ .

En todos los casos de este problema, el campo magnético externo es uniforme, aunque dependiente del tiempo. Por ello, el flujo magnético y la fuerza electromotriz externa valen

$\Phi_\mathrm{ext} = \int_S\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = B_0\pi a^2$ $\mathcal{E}_\mathrm{ext}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_\mathrm{ext}}{\mathrm{d}t} = -\pi a^2\frac{\mathrm{d}B_0}{\mathrm{d}t}$

2.2 Campo en rampa

En el primer caso, el campo varía uniformemente, por lo que su derivada es una constante y la ecuación diferencial se reduce a

$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR=-A\pi a^2$

esto es, la f.e.m. externa equivale a un generador de corriente continua.

Si esta variación lleva establecida mucho tiempo, podemos suponer que el periodo transitorio inicial ha finalizado y se ha alcanzado el estado estacionario.

Suponiendo una intensidad constante queda

$0 + I_0R=-A\pi a^2\,$ $I_0=-\frac{A\pi a^2}{R}$

Si el campo está aumentando, la corriente es tal que su campo se opone al aumento del flujo externo, de acuerdo con la ley de Lenz.

2.3 Campo en rampa a partir de t=0

En el apartado anterior hemos despreciado el efecto del transitorio inicial. Para ver cuándo podemos hacer esta aproximación, y para describir el comportamiento del sistema en este transitorio, supongamos que el campo variable no lleva mucho tiempo aplicado, sino que comienza en $t = 0$ y que antes de su aplicación no circula corriente por la espira.

En este caso tenemos de nuevo la ecuación diferencial

$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR=-A\pi a^2$

pero ahora con la condición inicial

$I(t=0)=0\,$

por lo que la solución estacionaria que calculamos no puede ser la solución del problema, ya que no verifica la condición inicial. Si consideramos que la corriente debe ser la suma de la estacionaria más una corrección nos queda

$I(t)=I_0 + I_1(t)\,$

$I_1(t=0)=-I_0\,\,$

$L\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}+I_1R=0$

(ya que el segundo miembro se cancela con el término $RI_0\,$ ). La solución de esta ecuación es

$I_1 = -I_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}\qquad\qquad \tau = \frac{L}{R}$

y la solución de la ecuación completa

$I = I_0 + I_1 =I_0\left(1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}\right)$

Esto quiere decir que la corriente que inicialmente es nula, tiende al valor estacionario, acercándose a este valor de forma exponencialmente decreciente.

El tiempo necesario para que la corriente difiera de su valor estacionario en menos de un 1% es

$I_0(1-\mathrm{e}^{-t_{1\%}/\tau})=0.99I_0\quad\Rightarrow\quad t_{1\%} = 4.6\tau = 4.6\frac{L}{R}$

Este tiempo, usualmente muy breve, es proporcional al coeficiente de autoinducción. Ello significa que uno de los efecto de una autoinducción es retardar el establecimiento del estado estacionario. En un circuito ideal, donde $L = 0$ , la corriente responde instantáneamente a las variaciones en la f.e.m. En un circuito real se produce un cierto retraso.

2.4 Campo con variación parabólica

Si el campo varía cuadráticamente con el tiempo, la f.e.m es una función lineal, por lo que debemos resolver la ecuación diferencial

$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR=-2A\pi a^2t$

Si despreciamos el transitorio inicial, buscamos una solución particular que no contenga términos exponenciales. En este caso una corriente continua no es una solución de la ecuación. Buscamos entonces lo siguiente en complejidad: una función lineal del tiempo

$I_0 = K_0 + K_1 t\,$

que al sustituir da la ecuación polinómica para los coeficientes

$LK_1+RK_0 + RK_1t = -2A\pi a^2t\,$

e, igualando término a término queda

$GK_1 = -\frac{2A\pi a^2}{R}$

$K_0 = -\frac{LK_1}{R}=\frac{2AL\pi a^2}{R^2}$

y queda la corriente

$I_0=K_0 + K_1 t = \frac{2A\pi a^2}{R}\left(\tau-t\right)$

vemos que incluso en la solución estacionaria existe un retraso respecto a la f.e.m. debido a la autoinducción.

Si queremos incluir el transitorio inicial, suponiendo que el campo se aplica a partir de $t = 0$ , añadimos un término de la forma $I_1=C\mathrm{exp}(-t/\tau)\,$ tal que la corriente inicial sea nula. Esto da la solución completa

$I =I_0+I_1 = \frac{2A\pi a^2\tau}{R}\left(1-\frac{t}{\tau}-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)$

2.5 Campo sinusoidal

Si el campo aplicado varía en forma de seno, la f.e.m. será cosenoidal, siendo la ecuación diferencial para la corriente

$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+IR=A\pi a^2\omega\cos(\omega t)$

Si la f.e.m. es una función oscilante, la corriente también lo será (despreciando, de nuevo, el transitorio inicial), por lo que la podemos escribir en la forma

$I=I_0\omega\cos(\omega t+\varphi)$

La dependencia cosenoidal sugiere el uso de fasores, de forma que la f.e.m. y la corriente las escribimos como

$\mathcal{E} =A\pi a^2\omega\cos(\omega t) = \mathrm{Re}\left(\tilde{\mathcal{E}}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$ $I = \mathrm{Re}\left(I_0\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\varphi)}\right)= \mathrm{Re}\left(\tilde{I}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)$

Sustituyendo en la ecuación diferencial ésta se convierte en la ecuación algebraica