Espira cuadrada en campo no uniforme

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Corriente inducida
3 Fuerza magnética
4 Potencia y energía

1 Enunciado

En una región del espacio existe un campo magnético

$\mathbf{B}=2Cxz\mathbf{u}_x + C(x^2-z^2)\mathbf{u}_z$

Una espira cuadrada de lado $a$ y resistencia $R$ se encuentra situada en el plano $z = 0$ con sus lados paralelos a los ejes. La espira se mueve de forma que su extremo trasero se encuentra en la posición $x = v 0 t$ .

Calcule la corriente que circula por la espira.
Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la espira.
Calcule la potencia disipada en la espira y la energía total disipada durante un tiempo $T$ .

2 Corriente inducida

La corriente que circula por la espira se calcula por aplicación de la ley de Faraday

$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\,\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}$

Calculamos el flujo magnético a través de un cuadrado apoyado en la espira. Asignamos un sentido de recorrido antihorario para la corriente, de forma que la normal a la superficie sobre la que calculamos el flujo va en la dirección de $\mathbf{u}_z$ .

El campo magnético en todos los puntos de esta superficie vale

$\mathbf{B}(z=0) = Cx^2\mathbf{u}_z$

En este caso

$\Phi_m = \int_{-a/2}^{a/2}\int_{v_0t}^{v_0t+a}(Cx^2\mathbf{u}_z)\cdot(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z)=Ca \int_{v_0t}^{v_0t+a}x^2\,\mathrm{d}x=\frac{Ca\left((v_0t+a)^3-(v_0t)^3\right)}{3}$

Derivando respecto al tiempo

$\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}=-Cav_0\left((v_0t+a)^2-(v_0t)^2)\right)=-Ca^2v_0(2v_0t+a)$

y finalmente la corriente es

$I = -\frac{Ca^2v_0(a+2v_0t)}{R}$

Esta corriente varía linealmente en el tiempo. Es nula en el instante $t 0 = - (a / 2) / v 0$ , para el cual la espira está centrada en el campo. Es positiva para $t < t 0$ , en que el flujo magnético está disminuyendo y la corriente inducida tiende a aumentarlo. Es positiva para $t > t 0$ , en el que el flujo magnético está aumentando y la corriente intenta disminuirlo.

3 Fuerza magnética

La fuerza magnética la obtenemos de la expresión general

$\mathbf{F}=I\oint \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}$

Aunque la corriente es la misma en toda la espira, esta fuerza no se anula por el ser el campo no uniforme, de forma parecida a lo que ocurre en el problema de la fuerza entre un hilo y una espira.

Dividimos la espira en sus cuatro lados, numerándolos consecutivamente del 1 al 4. la fuerza sobre cada lado es

Fuerza sobre el lado en $x = v 0 t$: Para este lado la coordenada $x$ vale lo mismo en todos los puntos (y su valor se puede sustituir en el integrando) mientras que la coordenada $y$ varía desde $y = + a / 2$ a $y = - a / 2$

$\mathbf{F}_1 = I\int_{a/2}^{-a/2} (\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_y)\times(C(v_0t)^2\mathbf{u}_z)=-ICa(v_0t)^2\mathbf{u}_x$

Fuerza sobre el lado en $y = - a / 2$: Para este lado varía la coordenada $x$ desde $x = v 0 t$ a $x = v 0 t + a$

$\mathbf{F}_2 = I\int_{v_0t}^{v_0t+a} (\mathrm{d}x\,\mathbf{u}_x)\times(Cx^2\mathbf{u}_z)$

Fuerza sobre el lado en $x = v 0 t + a$: Para este lado de nuevo la coordenada $x$ es constante y puede sustituirse mientras que la coordenada $y$ varía ahora desde $y = - a / 2$ a $y = + a / 2$

$\mathbf{F}_3 = I\int_{-a/2}^{a/2} (\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_y)\times(C(v_0t+a)^2\mathbf{u}_z)=ICa(v_0t+a)^2\mathbf{u}_x$

Fuerza sobre el lado en $y = + a / 2$: Para este lado varía la coordenada $x$ desde $x = v 0 t + a$ a $x = v 0 t$

$\mathbf{F}_4 = I\int_{v_0t+a}^{v_0t} (\mathrm{d}x\,\mathbf{u}_x)\times(Cx^2\mathbf{u}_z)$

La fuerza sobre el lado inferior se cancela con la del superior, por ser integrales idénticas con los límites invertidos, con lo que la resultante queda

$\mathbf{F}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_3+\overbrace{\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_4}^{=0}=ICa((v_0t+a)^2-(v_0t)^2)\mathbf{u}_x=ICa^2(a+2v_0t)\mathbf{u}_x$

Sustituyendo el valor de la intensidad

$\mathbf{F}=-\frac{C^2a^4(a+2v_0t)^2}{R}v_0\mathbf{u}_x$

4 Potencia y energía

La potencia disipada en la espira la obtenemos a partir de la ley de Joule:

$P=I^2R = \frac{C^2a^4(a+2v_0t)^2v_0^2}{R}$

Vemos que esta potencia disipada coincide con la desarrollada por la fuerza magnética

$|P_m| = |\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}|=\frac{C^2a^4(a+2v_0t)^2v_0^2}{R}$

la energía disipada en un intervalo T es la integral de la potencia

$W_d = \int_t^{t+T}\!\!\! P\,\mathrm{d}t=\frac{C^2a^4v_0^2}{R}\int_t^{t+T}(a+2v_0t)^2\,\mathrm{d}t=\frac{C^2a^4v_0}{6R}((a+2v_0t+2v_0T)^3-(a+2v_0t)^3)$

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3 Fuerza magnética

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