De Laplace

Revisión a fecha de 15:46 30 oct 2013; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Problemas del boletín
2 Otros problemas
- 2.1 Bala penetrando en un bloque de madera
- 2.2 Péndulo enrollándose alrededor de una clavija delgada

1 Problemas del boletín

1.1 Equilibrio de una partícula bajo la acción de tres muelles

Una partícula libre de masa $m$ está unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elásticas $k A$ , $k B$ y $k C$ . Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas de los puntos de fijación son $A ( - a,0,0)$ , $B (a,0,0)$ y $C (0, a,0)$ .

Calcula la posición de equilibrio de la partícula.
Considera las situaciones siguientes
1. $m = 0$ y $k A = k B = k C = k$
2. $m = 0$ y $k_A=k_B\gg k_C$
3. $k A = k B = k C = k$ y $m > > k a / g$ .

1.2 Equilibrio de una partícula sobre una esfera lisa

Un punto material $M$ de peso $P$ está obligado a permanecer en la superficie de una esfera de radio $R$ y centro $O$ . Además, $M$ es atraído por un punto fijo $A$ del ecuador de la superficie esférica, debido a la existencia de un resorte elástico ideal, de longitud natural nula y de constante recuperadora $k=P/\sqrt{3}R$ , que conecta ambos puntos. Determina las posiciones de equilibrio del punto material $M$ , y la fuerza de reacción vincular en ellas.

1.3 Equilibrio de una partícula sobre una hélice

Un punto material $M$ , de peso $P$ , está vinculado a la hélice $Γ$ , definida en el sistema de referencia cartesiano $O X Y Z$ por la ecuación vectorial $\vec{r}(\theta)=a\cos\theta\,\vec{\imath}+a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}+h\,\theta\,\vec{k}$ . Determina la posición de equilibrio estático del punto $M$ si, además, este es atraído por el origen por una fuerza $\vec{F}$ proporcional a la distancia entre ambos puntos, siendo $k$ la constante de proporcionalidad.

1.4 Fuerza sobre tres masas yuxtapuestas

Tres masas $m 1$ , $m 2$ y $m 3$ se encuentran yuxtapuestas sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sobre la primera de ellas actúa una fuerza horizontal $F$ . Calcula

La aceleración de las masas.
La fuerza resultante sobre cada una de ellas.
Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre ellas.

1.5 Fuerza unidireccional

Una partícula de masa $m$ está sometida a una fuerza constante $\vec{F}=(A + Bt)\,\vec{\imath}$ . Si parte del reposo y desde el origen del sistema de referencia, encuentra la posición y la velocidad de la partícula en cualquier instante.

1.6 Partícula en el campo gravitatorio terrestre

Una partícula de masa $m$ se mueve en el seno del campo gravitatorio terrestre cerca de la superficie, de modo que la aceleración de la gravedad puede suponerse constante y dirigida verticalmente a la superficie ( $\vec{g}=-g\,\vec{k}$ ). Analiza el movimiento de la partícula para las siguientes condiciones iniciales

$\vec{r}(0)=\vec{0}$ , $\vec{v}(0)=v_0\,\vec{k}$ .
$\vec{r}(0)=h\,\vec{k}$ , $\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\imath}$ .
$\vec{r}(0)=\vec{0}$ , $\vec{v}(0)=\vec{v}_0=v_0\cos\alpha\,\vec{\imath} + v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{k}$ .

1.7 Muelle vertical

Se tiene un muelle vertical de constante $K$ y longitud natural $l 0$ . El sistema está sometido a la acción de la gravedad, $\vec{g}=g\,\vec{\imath}_1$ .

Se cuelga una masa $m$ del extremo del muelle. ¿Cuál es la nueva elongación del muelle cuando se alcanza el equilibrio?
Partiendo de la situación del apartado anterior, estiramos la masa de modo que la elongación del muelle aumenta una distancia $L$ , y lo soltamos. Describe las fuerzas actuando sobre la masa justo después de soltarla.
Aplicando la Segunda Ley de Newton calcula la posición de la masa como función del tiempo. ¿Que movimiento describe?

Nota : Podemos suponer que todos los desplazamientos del muelle son verticales.

1.8 Partícula ensartada en un aro circular

Se tiene un aro circular de radio $R$ . Engarzado en él hay una masa $m$ que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.

Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuaciones que describen el movimiento de la masa en función del ángulo $α$ de la figura.
Soltamos la masa con velocidad inicial nula y un ángulo inicial $\alpha_0\ll1$ . Encuentra la función $α(t)$ que describe el movimiento de la masa.
Supongamos ahora que nos dicen que la masa realiza un movimiento circular uniforme con frecuencia angular $Ω$ . Encuentra la expresión de la fuerza de ligadura en función del ángulo $θ$ . ¿Es constante? En este caso, ¿el vínculo es liso o rugoso?

1.9 Partícula en un tubo que gira con velocidad angular constante

Una partícula de masa $m$ se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual gira con velocidad angular uniforme $ω$ en torno a un eje perpendicular al del tubo, de forma que la posición de la partícula puede describirse como

$\begin{matrix} x(t) = r(t)\,\cos(\omega t)&\qquad\qquad& y(t) = r(t)\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t) \end{matrix}$

Halla la ecuación diferencial que cumple la función $r (t)$ sabiendo que el vínculo entre la partícula y el tubo es liso.
Comprueba que

$r(t) = A\,e^{\omega t}$

es una solución de la ecuación para $r (t)$ .

Para esta solución particular
1. Calcula la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
2. Halla la potencia desarrollada por el tubo sobre la partícula. Calcula el trabajo realizado sobre la partícula durante el tiempo que emplea en pasar de $r = b$ a $r = 2 b$ .
3. Calcula el incremento de la energía cinética de la partícula en el mismo intervalo y comprueba que se verifica el teorema de las fuerzas vivas o de la energía.

1.10 Partícula en un pozo de potencial

Una partícula $P$ , de masa $m$ , realiza un movimiento rectilíneo sobre la parte positiva del eje $O X$ . La partícula está sometida a una fuerza que tiene la forma

$\vec{F}(x) = \left\{ \begin{matrix} (m\,L\,k/x^3)\,\vec{\imath}&\quad&x< L\\ -(m\,k/x^2)\,\vec{\imath}&\quad&x>L \end{matrix} \right.$

siendo $k$ una constante conocida.

Determina la energía potencial de la partícula en función de su coordenada $x$ (considerando que es nula en el infinito y exigiendo su continuidad en $x = L$ ) y represéntala gráficamente.
Sabiendo que la partícula inicia su movimiento desde el reposo en el punto $P 0$ de coordenada $x = 2 L$ , determina su energía mecánica.
¿En qué otro punto (de la región $x < L$ ) la partícula se detiene momentáneamente (punto de retorno)? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar desde $x = L$ a ese punto de retorno?

1.11 Partícula deslizando sobre un disco

Una partícula $P$ , de masa $m$ , es abandonada en reposo en el punto más alto de un disco vertical de radio $R$ que descansa apoyado en el suelo. Debido a una ligera perturbación, la partícula comienza a deslizar bajo la acción de la gravedad. Suponiendo que no hay rozamiento, determina el punto en el que la partícula pierde contacto con el disco, así como la velocidad con la que impacta contra el suelo.

1.12 Masa deslizando por una pendiente hacia un muelle

Una masa $m$ se encuentra al borde de una pendiente. Después de la pendiente se extiende una llanura, al final de la cual hay un muelle relajado de constante elástica $k$ y longitud natural $l 0$ . La masa se encuentra a una altura $h$ relativa al muelle. Suponemos que no existe fuerza de rozamiento entre la masa y la superficie.

Determina la velocidad con la que la masa impacta en el muelle (punto $B)$ .
¿Cuál es el valor mínimo de la constante elástica del muelle, $k m i n$ , para que este pueda evitar que la masa toque la pared?
Supón ahora que entre los puntos $A$ y $B$ hay una región de longitud $d$ en la que existe rozamiento entre la masa y el suelo. Si el coeficiente de rozamiento es $μ$ , ¿cuál es el nuevo valor mínimo de $k$ en el apartado anterior?
Supongamos que $k > k m i n$ . En la situación de rozamiento del apartado anterior, calcula la velocidad con la que la partícula vuelve al punto $A$ y la altura a la que sube por la pendiente.
Calcula numéricamente las magnitudes pedidas si $m=100\,\mathrm{g}$ , $h=50.0\,\mathrm{cm}$ , $l_0=5.00\,\mathrm{cm}$ , $μ = 0.200$ , $d=10.0\,\mathrm{cm}$ , $g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$ .

1.13 Partícula sometida a la acción de dos muelles

Una partícula $P$ , de masa $m$ , se mueve en el plano horizontal sometida a la acción de dos resortes elásticos ideales e idénticos, de constante $k$ y longitud natural nula. Los puntos de anclaje son $C ( - d,0)$ y $D (d,0)$ , respectivamente

Escribe la ecuación diferencial que determina el movimiento de la partícula.
Si las condiciones iniciales son $\vec{r}(0)=a\,\vec{\imath}$ y $\vec{v}(0)=v_0\,\vec{\jmath}$ , encuentra las expresiones que dan la posición y la velocidad de la partícula en todo instante de tiempo.
Determina, para todo instante de tiempo, el momento cinético, $\vec{L}_O$ , de la partícula $P$ respecto al origen de coordenadas $O$ , así como su energía mecánica, $E$ . ¿Qué teoremas de conservación explican las propiedades de estas magnitudes en este problema?

1.14 Partícula sobre una rampa con muelle

Para lanzar una partícula material de masa $m$ se dispone de una rampa de lanzamiento de longitud $l$ y un resorte de constante recuperadora $k$ y longitud natural nula que tiene el extremo fijado al punto $A$ de la rampa. Para proceder al lanzamiento, la partícula se coloca en el otro extremo del resorte, situado en el punto $O$ .

Determina las condiciones iniciales de posición y velocidad para el movimiento libre de la partícula (cuando la partícula abandona la rampa en el punto A), en función del ángulo α que forma la rampa con la horizontal, en las siguientes situaciones
1. El rozamiento de la partícula en la rampa es despreciable.
2. El rozamiento seco de la partícula en la rampa está caracterizado por un coeficiente dinámico $μ$ .
Calcula la altura máxima de la partícula respecto del suelo en las dos situaciones del apartado anterior.

1.15 Bloque sobre plano inclinado girando

Una partícula puntual de masa $m$ se mueve sobre un plano inclinado. A su vez, el plano gira de modo que el ángulo con la horizontal es $θ(t) = ω t$ . Sobre la masa actúa además la gravedad $\vec{g}$ . El contacto entre la partícula y el plano es liso.

Encuentra la expresión de la ecuación diferencial que cumple la distancia de la partícula al origen de coordenadas, $ρ(t)$ , así como la expresión que da el valor de la fuerza de reacción vincular $\vec{\Phi}(t)$ .
Demuestra que, para los valores apropiados de las constantes $α$ y $K$ , la expresión siguiente es solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son esos valores de $α$ y $K$ ? $\rho(t) = A\,\cosh(\alpha t) + B\,\mathrm{senh}\,(\alpha t) + K\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$
Si en el instante inicial tenemos $ρ(0) = 0$ y $\dot{\rho}(0)=v_0$ encuentra cuánto valen las constantes $A$ y $B$ de la expresión anterior.
¿Se conserva la energía mecánica del sistema? Razona la respuesta.

2 Otros problemas

2.1 Bala penetrando en un bloque de madera

Una bala de masa $m=10.0\,\mathrm{g}$ viaja con velocidad $v=120\,\mathrm{m/s}$ . Impacta con un bloque de madera y penetra en él una distancia $s=2.30\,\mathrm{cm}$ - ¿Cuál es el valor aproximado de la fuerza media ejercida por el bloque sobre la bala?

2.2 Péndulo enrollándose alrededor de una clavija delgada

Un péndulo consiste en una pequeña masa $m$ atada al extremo de una cuerda inextensible y sin masa de longitud $l$ . La masa se coloca en el plano horizontal y se suelta. En el punto más bajo de la oscilación (punto $B$ ), la cuerda choca con una clavija delgada (punto $O$ ) situada a una distancia $R$ por encima de del punto $B$ .

Para el punto más bajo de la oscilación (punto $B$ ) calcula el módulo de la velocidad de la masa, su cantidad de movimiento y su momento cinético respecto al punto $D$ .
Expresa en coordenadas polares la posición respecto del punto $O$ de la masa después de que la cuerda haya chocado con la clavija (punto $P$ ). Encuentra la expresión de la velocidad y la aceleración de la masa.
Para el movimiento de la masa después del punto $B$ , encuentra la expresión de la ecuación diferencial que rige la variación del ángulo $θ$ , la expresión que da la tensión de la cuerda y las condiciones iniciales de la ecuación diferencial en el punto $B$ .
¿Cuál es la condición que debe cumplir la distancia $R$ para que la masa describa al menos un círculo completo alrededor de la clavija, es decir, para que llegue al punto $C$ ?

Problemas de Dinámica del punto (GIC)