Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:51 29 mar 2009

Contenido

1 Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme
2 Movimiento en el campo de un dipolo
3 Fuerza entre dos cargas en movimiento
4 Fuerza sobre una espira inmersa parcialmente en un campo magnético
5 Fuerza magnética sobre un dipolo eléctrico
6 Campo magnético de una corriente rectilínea‎
7 Campo producido por una espira poligonal
8 Campo magnético de una espira rectangular
9 Campo magnético de tres hilos
10 Fuerza entre un hilo y una espira
11 Pequeña espira junto a hilo
12 Campo magnético de una espira circular
13 Campo debido a un disco rotante
14 Campo de dos anillos coplanarios
15 Campo de un solenoide cilíndrico
16 Campo de un tubo cilíndrico
17 Corriente en el interior de una tubería
18 Fuerza entre un hilo y un dipolo magnético
19 Energía de interacción entre dos dipolos
20 Fuerza entre un dipolo y una espira
21 Momento magnético de una esfera en rotación

1 Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme

Una partícula de masa $m$ y carga $q$ se mueve en el interior de un campo magnético uniforme $\mathbf{B}=B_0\mathbf{u}_{z}$ . Si la partícula se halla inicialmente en el origen y moviéndose con velocidad $\mathbf{v}=\mathbf{v}_0$ . ¿Cuál es la trayectoria posterior? ¿Cuál es la posición en un instante de tiempo $t$ ?

Solución

2 Movimiento en el campo de un dipolo

Una carga puntual $q$ se mueve en el interior del campo de un dipolo magnético $\mathbf{m}$ . Inicialmente (en $t\to-\infty$ la carga se encuentra en el plano perpendicular al dipolo, muy alejada del éste y moviéndose en línea recta hacia el dipolo.

Demuestre que la carga se mantiene en todo momento en el plano perpendicular al dipolo.
Escriba las ecuaciones de movimiento para la carga.
Demueste que la energía cinética de la carga permanece constante.
Demuestre que la carga se acerca a una distancia mínima del dipolo y a partir de ahí vuelve a alejarse. Determine el ángulo entre las direcciones con la que se acerca y se aleja.

3 Fuerza entre dos cargas en movimiento

Dos cargas puntuales iguales $+ q$ se mueven con la misma celeridad $v$ de forma que en un instante se encuentran situadas en $\mathbf{r}_1=\mathbf{0}$ y $\mathbf{r}_2 = a\mathbf{u}_{x}$ , respectivamente.

Si las dos cargas se mueven con velocidades pequeñas $\mathbf{v} = v\mathbf{u}_{z}$ , calcule el valor aproximado de la fuerza eléctrica y de la fuerza magnética que ejerce cada carga sobre la otra. ¿Cuál es la proporción entre estas dos fuerzas?

¿Cómo cambian estas fuerzas si se cambia el signo de una de las cargas, el sentido de una de las velocidades, o ambas cosas a la vez?

Calcule el valor de estas fuerzas si $\mathbf{v}_1=v\mathbf{u}_{z}$ , $\mathbf{v}=v\mathbf{u}_{x}$ . ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

4 Fuerza sobre una espira inmersa parcialmente en un campo magnético

Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campo magnético uniforme $\mathbf{B}$ (en la figura el campo ocupa la región sombreada y apunta perpendicularmente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente $I$ . Pruebe que la fuerza magnética neta sobre la espira es $F = I B s$ , donde $s$ es la cuerda subtendida.

Generalice este resultado para el caso de que la forma de la región ocupada por el campo magnético sea también irregular. ¿En qué dirección apunta la fuerza?

Solución

5 Fuerza magnética sobre un dipolo eléctrico

Un dipolo eléctrico, que puede suponerse formado por dos cargas puntuales $\pm q$ situadas en los extremos de una varilla corta, de longitud $L = p / q$ , se mueve en el interior de un campo magnético. El movimiento del dipolo puede describirse mediante la velocidad de su centro, $\mathbf{v}$ , y la velocidad angular con la que gira en torno a él, $\mathbf{w}$ .

Calcule la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el dipolo.
Halle el momento de la fuerza producido por el campo.

Solución

6 Campo magnético de una corriente rectilínea‎

Halle, por integración directa, el campo magnético producido en todo el espacio por un segmento rectilíneo de longitud $L$ por el cual circula una corriente continua $I$ .

A partir del resultado anterior, halle el campo producido en todos los puntos del espacio por un hilo de longitud infinita por el cual circula una corriente continua $I$ .

Para el caso de un hilo infinito, determine este mismo campo magnético partiendo de las ecuaciones de la magnetostática.

7 Campo producido por una espira poligonal

Por las espira de formas irregulares de las figuras circula una corriente $I$ . Halle el valor del campo en el punto $P$ en cada caso.

Para cada una de las espiras, hállese su momento magnético y la expresión del campo magnético y del potencial vector en puntos alejados de la espira.

8 Campo magnético de una espira rectangular

Calcule el campo magnético en el centro de una espira rectangular de lados $a$ y $b$ , por la cual circula una corriente continua $I$ .

¿A qué se reducen los resultados si $a = b$ ? ¿Y si $a\gg b$ ?

Solución

9 Campo magnético de tres hilos

Una línea de alta tensión trifásica está formada por tres hilos paralelos coplanarios, separados una distancia $a$ , por los cuales circulan las corrientes

$I_1= \frac{I_0}{2}\left(-\cos(\omega t) - \sqrt{3}\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)$ $I_2 = I_0\cos(\omega t)\,$ $I_3= \frac{I_0}{2}\left(-\cos(\omega t) + \sqrt{3}\,\mathrm{sen}(\omega t)\right)$

siendo $ω$ la frecuencia de oscilación, que se considera muy baja.

Calcule la circulación, como función del tiempo, del campo magnético $\mathbf{B}$ a lo largo de un contorno rectangular de base $3 a$ y altura $a$ perpendicular al plano de los hilos y que rodea a los tres.
Calcule el valor del campo magnético en el plano de los hilos.
Halle la fuerza sobre un segmento de longitud $h$ del hilo central, como función del tiempo. ¿Cuánto vale la fuerza máxima? Calcule su valor numérico para el caso $a$ = 1 m, $h$ = 1 m, $\omega = 100\pi\,\mathrm{s}^{-1}$ , $I 0$ = 2 kA.

Solución

10 Fuerza entre un hilo y una espira

Una espira rectangular de lados $a$ y $b$ , recorrida por una corriente $I 1$ , es coplanaria con un conductor rectilíneo, por el que circula una corriente $I 2$ . La distancia del centro de la espira al hilo es $d$ . Halle la fuerza que aparece entre el hilo y la espira.

Solución

11 Pequeña espira junto a hilo

Un conductor cilíndrico de radio muy pequeño

a

y longitud indefinida es recorrido por una corriente continua

I 0

. Una espira cuadrada muy pequeña, de lado

b

, resistencia

R

y autoinducción despreciable, es coplanaria con el hilo y se encuentra situada a una distancia

y

de éste ( $y \gg b$ ).

Calcule, detallando los pasos, el campo magnético producido por el hilo en su exterior
Si por la espira circula una corriente $I 1$ , ¿qué fuerza ejerce el hilo sobre ella?
Suponga que la espira se aleja del hilo, sin cambiar su orientación, de modo que $y = y 0 + v 0 t$ , ¿cuánto vale la corriente $I 1$ inducida en la espira en un instante $t$ ? ¿Y la fuerza que el hilo ejerce sobre ella?

12 Campo magnético de una espira circular

Halle el campo magnético en todos los puntos del eje de una espira circular de radio $a$ por la cual circula una corriente continua $I$ .

13 Campo debido a un disco rotante

Un disco de radio $a$ almacena una carga $Q$ distribuida uniformemente en su superficie. El disco gira con velocidad angular $ω$ alrededor de su eje. Calcule el campo magnético en los puntos de dicho eje.

14 Campo de dos anillos coplanarios

En el plano $z = 0$ se encuentran dos anillos coplanarios concéntricos, de radios $a$ y $b$ ( $b > a$ ). Por el anillo interior circula una corriente $I 0$ .

Halle la corriente $I 1$ que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnético en el centro de los anillos se anule.
Calcule el campo magnético en todos los puntos del eje del sistema.
Halle el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.
Suponga que $b = 2 a$ y que nos situamos a una altura $z = 10 a$ . ¿Cuál es el error relativo cometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximación dipolar?

Solución

15 Campo de un solenoide cilíndrico

Un solenoide de radio $a$ , altura $h$ y $n$ espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por una distribución de corriente superficial sobre un cilindro.

Halle el valor $\mathbf{K}$ equivalente a que por las espiras circule una corriente $I$ .
Empleando la ley de Ampère, calcule el campo producido por el solenoide, si $h\to\infty$ .
Mediante integración directa, halle el campo magnético en los puntos del eje del cilindro si $h$ es finito. Estudie el límite $h \gg a$

16 Campo de un tubo cilíndrico

Sobre un cilindro de radio $a$ y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniforme $\mathbf{K}$ . Halle el campo magnético en todos los puntos del espacio.

17 Corriente en el interior de una tubería

Por el interior de una tubería cilíndrica de radio $a$ fluye un líquido con una velocidad, dependiente de la distancia al eje, $ρ$ , como

$\mathbf{v} = v_0\left(1-\frac{\rho^2}{a^2}\right)\mathbf{u}_{z}$

El líquido posee una densidad de carga uniforme $ρ 0$ , de forma que la densidad de corriente es $\mathbf{J} = \rho_0\mathbf{v}$ . En el exterior del tubo no hay corriente.

Halle el campo magnético que se produce tanto en el interior de la tubería como en el exterior de ella.
Calcule la fuerza que el campo magnético ejerce sobre una carga $q$ que se mueve con el líquido, a una distancia $a / 2$ del eje.

Solución

18 Fuerza entre un hilo y un dipolo magnético

Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente $I 0$ . Un pequeño imán (equivalente a un dipolo magnético $\mathbf{m}$ ), de peso $M\mathbf{g}$ , se suspende de un hilo ideal, de longitud $l$ , cuyo punto de sujeción se encuentra a una distancia $a$ del cable. El imán está sujeto por su punto central, de forma que puede orientarse libremente. ¿En que dirección apuntará el imán? Calcule la fuerza magnética sobre el imán, cuando se encuentra a una distancia $x$ del cable. Halle la ecuación para el ángulo que el hilo forma con la vertical.

Solución

19 Energía de interacción entre dos dipolos

Sobre una mesa horizontal se colocan dos brújulas (equivalentes a dipolos magnéticos) iguales, de forma que sus centros distan una cantidad $a$ . Las dos brújulas pueden girar en el plano horizontal. Considerando que la interacción brújula-brújula es mucho mayor que la acción del campo magnético terrestre, ordene las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energía. ¿Cómo se orientarán las brújulas?

Solución

20 Fuerza entre un dipolo y una espira

Se tiene un pequeño imán, modelable como un dipolo magnético puntual de momento magnético $\mathbf{m}_0=m_0\,\mathbf{u}_{z}$ , situado a una cierta altura $z$ sobre el eje de una espira circular de radio $a$ por la que circula una corriente eléctrica continua de intensidad $I 0$ .

Calcule la fuerza que la espira ejerce sobre el dipolo, y la que el dipolo produce sobre la espira. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

21 Momento magnético de una esfera en rotación

Calcule el momento magnético dipolar de una esfera de radio $R$ , con una carga $q$ distribuida uniformemente en su volumen y que gira con velocidad angular $\mathbf{w}$ .

Establezca la proporcionalidad entre este momento magnético y el momento angular de la esfera, si ésta posee una masa $m$ distribuida uniformemente en el volumen.

Solución

@@ Línea 29: / Línea 29: @@
 ==={{nivel|3}} [[Fuerza magnética sobre un dipolo eléctrico]]===
-Un dipolo eléctrico, que puede suponerse formado por dos cargas puntuales <math>\pm q</math> situadas en los extremos de una varilla corta, de longitud <math>L = p/q</math>, se mueve en el interior de un campo magnético. El movimiento del dipolo puede describirse mieidnate la velocidad de su centro, <math>\mathbf{v}</math>, y la velocidad angular con la que gira en torno a él, <math>\mathbf{w}</math>.
+Un dipolo eléctrico, que puede suponerse formado por dos cargas puntuales <math>\pm q</math> situadas en los extremos de una varilla corta, de longitud <math>L = p/q</math>, se mueve en el interior de un campo magnético. El movimiento del dipolo puede describirse mediante la velocidad de su centro, <math>\mathbf{v}</math>, y la velocidad angular con la que gira en torno a él, <math>\mathbf{w}</math>.
 # Calcule la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el dipolo.

Problemas de campo magnético de corrientes estacionarias

De Laplace

Revisión de 13:51 29 mar 2009

Contenido

1 Movimiento de una carga en un campo magnético uniforme

2 Movimiento en el campo de un dipolo

3 Fuerza entre dos cargas en movimiento

4 Fuerza sobre una espira inmersa parcialmente en un campo magnético

5 Fuerza magnética sobre un dipolo eléctrico

6 Campo magnético de una corriente rectilínea‎

7 Campo producido por una espira poligonal

8 Campo magnético de una espira rectangular

9 Campo magnético de tres hilos

10 Fuerza entre un hilo y una espira

11 Pequeña espira junto a hilo

12 Campo magnético de una espira circular

13 Campo debido a un disco rotante

14 Campo de dos anillos coplanarios

15 Campo de un solenoide cilíndrico

16 Campo de un tubo cilíndrico

17 Corriente en el interior de una tubería

18 Fuerza entre un hilo y un dipolo magnético

19 Energía de interacción entre dos dipolos

20 Fuerza entre un dipolo y una espira

21 Momento magnético de una esfera en rotación

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