Campo magnético de una corriente rectilínea

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Por integración directa
3 Mediante las ecuaciones de la magnetostática
- 3.1 Hilo infinito

1 Enunciado

Halle, por integración directa, el campo magnético producido en todo el espacio por un segmento rectilíneo de longitud $L$ por el cual circula una corriente continua $I$ .

A partir del resultado anterior, halle el campo producido en todos los puntos del espacio por un hilo de longitud infinita por el cual circula una corriente continua $I$ .

Para el caso de un hilo infinito, determine este mismo campo magnético partiendo de las ecuaciones de la magnetostática.

2 Por integración directa

2.1 Segmento finito

Una varilla aislada de longitud finita no puede encontrarse en un estado estacionario, ya que la carga que circulara por ella al llegar al extremo no podría desvanecerse, sino que produciría una acumulación progresiva de carga, que ya no sería estacionaria. Sin embargo, si el segmento forma parte de una curva cerrada, como un polígono, podemos aplicar el principio de superposición a cada uno de sus lados, calculados como si se trataran de segmentos aislados.

El campo debido a una sola varilla de corriente de longitud $L$ lo podemos calcular suponiendo el eje $Z$ sobre la varilla, y que ésta se extiende desde $- L / 2$ hasta $L / 2$ , fluyendo la corriente hacia valores de $z$ crecientes. Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético en un punto cualquiera del espacio es

$\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}$

En este caso

$\mathbf{r}=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,$ $\mathbf{r}'=z'\mathbf{u}_{z}\,$ $\mathbf{r}-\mathbf{r}'=x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+(z-z')\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}'=\mathrm{d}z'\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=\mathrm{d}z'(-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y})$

y el cálculo del campo se reduce a la integral

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2}\!\!\!\!\mathrm{d}z' \frac{(-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y})}{(x^2+y^2+(z-z')^2)^{3/2}}$

Tenemos dos casos

2.1.1 Puntos de la recta soporte

Si el punto de observación se encuentra situado sobre la recta sobre la que se encuentra el segmento, pero no sobre el propio segmento tenemos que

$x = y = 0\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{-L/2}^{L/2}\!\!\!\!\mathrm{d}z' \frac{(-0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y})}{|z-z'|^{3}}=\mathbf{0}$

El integrando se anula en todos los puntos del dominio (el denominador nunca es cero) y por tanto el campo se anula en estos puntos.

Si el punto de observación se encuentra sobre el propio segmento, el campo no se anula, ya que el integrando se hace singular (el denominador tiende a 0, ya que hay algún valor de $z'$ que coincide con $z$ ). En los puntos del segmento el campo no está definido. Para estos puntos no vale la aproximación de conductor filiforme, y hay que tratar el hilo como un cable grueso.

2.1.2 Puntos fuera de la recta soporte

Esta integral se resuelve con el cambio de variable $z'-z=\sqrt{x^2+y^2}\,\mathrm{tg}\,\alpha$

donde $α$ es el ángulo que forma con la perpendicular al segmento el vector $\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ . El resultado final es

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\frac{-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}}{x^2+y^2}\right)(\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)= \frac{\mu_0I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{u}_{\varphi}$

Según esto, el campo debido a la varilla va en la dirección acimutal en torno a la varilla y su valor depende de la distancia $ρ$ $ al eje de la varilla, y de los ángulos con que se ven los extremos.

2.2 Violación de la ley de Ampére

Podemos comprobar que el campo debido a un único segmento no verifica la ley de Ampère, la cual solo es cierta para corrientes estacionarias, entre las cuales no se cuenta este sistema, según hemos dicho. Para ello calculamos la circulación a través de una curva cerrada alrededor del segmento

Tomando una curva circular, de radio $ρ$ , concéntrica con el eje Z, a una altura $z 0$ sobre el plano XY, resulta

$\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\!\!\!\! (B\mathbf{u}_{\varphi}){\cdot}(\rho\,\mathrm{d}\varphi\mathbf{u}_{\varphi}) = \frac{\mu_0I(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)}{2}$

De acuerdo con la ley de Ampère esta circulación debería ser igual o $μ 0 I$ o 0 si tomamos como superifice un círculo apoyado en la circunferencia corta al segmento o no lo hace. El resultado real no es ninguno de estos dos.

Es más, dada una cierta curva $Γ$ , la corriente que la atraviesa puede tener distintos valores, según la superficie $S$ , apoyada en $Γ$ , que tomemos.

Las soluciones a estos conflictos son variables, dependiendo del sistema. Si el segmento forma parte de un sistema mayor, como una espira poligonal, el problema desaparece al incluir el campo magnético del resto del sistema. Si el segmento es todo lo que tenemos, el sistema es no estacionario ya que la carga se está acumulando en un extremo y desapareciendo del otro. Para sistemas no estacionarios, es preciso emplear la ley de Ampère-Maxwell, que ya no presenta estas paradojas.

2.3 Segmento en una posición arbitraria

A la hora de calcular el campo producido por ejemplo por una espira poligonal, no podemos fijar simultáneamente el eje Z sobre todos los lados a la vez, por lo que debemos reinterpretar la expresión para el campo de una forma más general.

Nuestro punto de partida es el campo magnético medido en un punto $P$ , debido a un segmento rectilíneo de extremos $M$ y $N$ , dado por

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi\rho}(\,\mathrm{sen}\,\alpha_2-\,\mathrm{sen}\,\alpha_1)\mathbf{n}$

donde

ρ

debe entenderse como la distancia desde el punto donde se quiere medir el campo a la recta soporte del segmento, esto es, la distancia PQ medida sobre la perpendicular, siendo Q el punto de la recta más cercano a P. Q no tiene por qué pertenecer al segmento.

α 1

y

α 2

son los ángulos que esta perpendicular PQ forma con las líneas PM y PN. Estos ángulos tienen signo, positivo si PM queda por delante de PQ (según el sentido de la corriente) y negativo si queda por detrás. Lo mismo para el ángulo

α 1

. Por último, $\mathbf{n}$ representa un vector normal al plano definido por P, M y N, con sentido el dado por la regla de la mano derecha respecto a la corriente que circula por el segmento (irá hacia afuera de la pantalla si P se encuentra a la izquierda del segmento y hacia adentro si está a la derecha).

Este tratamiento es análogo al que se establece al hallar el campo eléctrico de un segmento cargado. El cambio de variables que resuelve la integral es el mismo en ambos casos y también lo es la definición de los ángulos $α 1$ y $α 2$ . La principal diferencia entre el caso eléctrico y el magnético la da el que las fuentes de $\mathbf{B}$ sean vectoriales, mientras que las de $\mathbf{E}$ son escalares. Ello establece un sentido de recorrido del segmento, el dado por la corriente, y define de forma unívoca los extremos delantero y trasero del segmento (lo que no ocurre en el caso eléctrico). Igualmente, el carácter transversal del campo magnético, frente al radial del campo eléctrico, obliga a establecer un criterio de giro, según la regla de la mano derecha, que no es preciso en el caso eléctrico.

2.4 Hilo infinito

Como caso particular de esta expresión tenemos el caso de un hilo infinito, pero de radio nulo. Para $L\to\infty$ , se verifica

$\alpha_1\to-\frac{\pi}{2}$ $\alpha_2\to\frac{\pi}{2}$

y el límite del campo es

$\mathbf{B}\to \frac{\mu_0I}{4\pi\rho}(1-(-1))\mathbf{u}_{\varphi}=\frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_{\varphi}$

3 Mediante las ecuaciones de la magnetostática

3.1 Hilo infinito

Por comodidad, emplearemos coordenadas cilíndricas, situando el eje Z sobre el cable. El campo magnético producido por el hilo tiene tres componentes, dependiente cada una, en principio, de las tres coordenadas

$\mathbf{B} = B_\rho(\rho,\varphi,z)\mathbf{u}_{\rho} + B_\varphi(\rho,\varphi,z)\mathbf{u}_{\varphi} + B_z(\rho,\varphi,z)\mathbf{u}_{z}$

Sin embargo, este sistema posee simetría traslacional a lo largo del eje Z (esto es, que si nos desplazamos paralelamente al eje no percibimos ningún cambio), por lo que ninguna de las componentes depende de esta coordenada

$\frac{\partial{}B_\rho}{\partial z} = \frac{\partial{}B_\varphi}{\partial z} = \frac{\partial{}B_\varphi}{\partial z} = 0$

Al mismo tiempo, el sistema también posee simetría rotacional alrededor del mismo eje (es decir, que un giro alrededor del eje, manteniendo la distancia constante, tampoco modifica nuestra visión del sistema). Por ello, las componentes son independientes de la coordenada $\varphi$ , que es la que se modifica al efectuar una rotación.

$\frac{\partial{}B_\rho}{\partial \varphi} = \frac{\partial{}B_\varphi}{\partial \varphi} = \frac{\partial{}B_\varphi}{\partial \varphi} = 0$

Nótese que, aunque ninguna componente depende de $\varphi$ , el campo sí lo hace, a través de los vectores de la base $\mathbf{u}_{\rho}$ y $\mathbf{u}_{\varphi}$ .

Con estas dos simplificaciones, el campo nos queda en la forma

$\mathbf{B} = B_\rho(\rho)\mathbf{u}_{\rho} + B_\varphi(\rho)\mathbf{u}_{\varphi} + B_z(\rho)\mathbf{u}_{z}$

El siguiente paso consiste en demostrar que la componente $B z$ es nula. Para ello, lo más sencillo es recurrir directamente a la ley de Biot y Savart

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}$

Lo que nos interesa aquí es observar que, debido al producto vectorial, el integrando es perpendicular tanto a $\mathrm{d}\mathbf{r}'$ como a $\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ . Ahora bien, por tratarse de un hilo rectilíneo,

$\mathrm{d}\mathbf{r}' = \mathrm{d}z'\mathbf{u}_{z}$

esto es, el diferencial va siempre en la misma dirección y sentido, por lo que el integrando es siempre ortogonal a esta dirección y el campo total, por tanto, también lo es

$B_z = 0\,$

Este resultado es un caso particular de una propiedad más general del campo magnético, de ser ortogonal a la corriente que lo produce.

A continuación, veremos que también la componente radial es nula. Para ello, emplearemos la ley de Gauss para el campo magnético

$\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=0$

aplicada a un volumen cilíndrico concéntrico con la línea de corriente. Este cilindro lo tomaremos de radio

ρ

y altura

h

. El flujo a través de las caras de este cilindro se compone de tres términos: las dos bases,

S 1

y

S 2

, y la superficie lateral,

S L

$0 = \oint\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{S_1}\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_1 + \int_{S_2}\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_2 + \int_{S_L} \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_L$

En las dos bases, el vector superficie va en la dirección de $\mathbf{u}_{z}$ , por lo que el producto escalar por el campo magnético se anula

$\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_2 = \mathbf{B}{\cdot}\mathbf{u}_{z}\mathrm{d}S_2 = B_z\,\mathrm{d}S_2 = 0$

Queda la integral sobre la cara lateral, que es una superficie $ρ = cte.$ , por lo que el diferencial de superficie vale

$\mathrm{d}\mathbf{S}_L = \rho \,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}z\mathbf{u}_{\rho}$ $\varphi\in(0,2\pi)$ $z\in(0,h)$

y las componentes de $\mathbf{B}$ son constantes en esta superficie, por lo que

$0 = \int_{S_L}\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}_L = 2\pi\rho h B_\rho$ $\Rightarrow$

B ρ = 0

Este resultado puede entenderse gráficamente. Al ser el flujo del campo magnético siempre nulo, el campo no puede manar de la línea, ni ir hacia ella, por lo que la componente radial debe anularse.

Queda solamente hallar la componente acimutal, $B_\varphi$ . Para ello, aplicamos la ley de Ampère en forma integral

$\oint\mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \mu_0I$

a un contorno circular situado en un plano circular ortogonal a la línea de corriente y centrado en la línea. Para este contorno el diferencial de longitud vale $\mathrm{d}\mathbf{r} = \rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}$ $\varphi\in(0,2\pi)$

y la circulación

$\oint \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = 2\pi\rho B_\varphi = \mu_0 I$

lo que nos da finalmente para el campo magnético

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0I}{2\pi\rho}\mathbf{u}_{\varphi}$

Las líneas de campo magnético describen circunferencias en torno al hilo, según la regla de la mano derecha. El módulo del campo decae como la inversa de la distancia al hilo.

Campo magnético de una corriente rectilínea

De Laplace

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2 Por integración directa

2.1 Segmento finito

2.1.1 Puntos de la recta soporte

2.1.2 Puntos fuera de la recta soporte

2.2 Violación de la ley de Ampére

2.3 Segmento en una posición arbitraria

2.4 Hilo infinito

3 Mediante las ecuaciones de la magnetostática

3.1 Hilo infinito

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