Ley de Gauss para el campo magnético

De Laplace

Contenido

1 Forma diferencial
- 1.1 Demostración
2 Forma integral
- 2.1 Significado geométrico
3 Condición de salto
4 ¿Son cerradas las líneas de campo magnético?

1 Forma diferencial

Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribución de corriente de volumen

$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\int \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times\frac{\left(\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3}\mathrm{d}\tau'$

y, operando se llega a que puede escribirse como

$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ $\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'$

de donde es inmediato que

$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$

esto es, el campo magnético es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para el campo magnético.

Físicamente, por analogía con el campo eléctrico, podemos decir que esta ley expresa que el campo magnético carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las cargas magnéticas (conocidas como monopolos).

Realmente, la ecuación sólo la hemos demostrado para el campo creado por corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es válida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o dinámicas. Es la experiencia la que indica que no existen los monopolos.

1.1 Demostración

Para demostrar la ley de Gauss para el campo magnético partiendo de la ley de Biot y Savart, hacemos uso de la identidad

$\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\right|^3} = -\nabla \left(\frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \right)$

lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como

$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\int \nabla \left(\frac{1}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \right)\times \mathbf{J}(\mathbf{r}')\,\mathrm{d}\tau'$

y aplicando la identidad vectorial

$\nabla\times(\phi\,\mathbf{A})=(\nabla\phi)\times\mathbf{A}+\phi\,(\nabla\times\mathbf{A})$

podemos separar el campo en dos integrales

$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\int \nabla \times \left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \right)\,\mathrm{d}\tau'-\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{\nabla\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \,\mathrm{d}\tau'$

La segunda integral se anula porque $\mathbf{J}$ es función de $\mathbf{r}'$ , no de $\mathbf{r}$ . En la primera se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre $\mathbf{r}'$ y el otro sobre $\mathbf{r}$ , resultando finalmente

$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \nabla\times\left(\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \,\mathrm{d}\tau'\right)$

2 Forma integral

La ley de Gauss para el campo magnético equivale a decir que el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es nulo,

$\oint \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0$

La demostración es inmediata a partir de la forma diferencial, sin más que aplicar el teorema de Gauss

$\oint_{\partial\tau} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_\tau \nabla\cdot\mathbf{B}\,\mathrm{d}\tau=\int_\tau 0\,\mathrm{d}\tau = 0$

2.1 Significado geométrico

El que el flujo se anule para cualquier superficie se puede interpretar como que en cada superficie cerrada entran tantas líneas de campo como entran. Ello prohíbe que las líneas de campo sean abiertas (comiencen o acaben en puntos), ya que el flujo magnético alrededor de un extremo sería no nulo.

En términos de imanes, quiere decir que no se pueden separar los Polos Norte de los Polos Sur.

3 Condición de salto

La ley de Gauss para el campo magnético lleva aparejada su correspondiente condición de salto, para el caso de que tengamos una frontera (material o geométrica) entre dos regiones. Esta condición es

$\mathbf{n}\cdot[\mathbf{B}]=0\,$

Esta condición equivale a decir que la componente normal del campo magnético es continua en cualquier interfaz.

4 ¿Son cerradas las líneas de campo magnético?

El que las líneas de campo magnético no tengan extremos, esto es, que no puedan ser abiertas, parece indicar que deben ser cerradas. Sin embargo, no tiene por qué ser así. Lo que son es no abiertas. Existen tres posibilidades:

Que sean efectivamente cerradas, como las líneas del campo de una espira circular o de un hilo infinito.

Que vayan del infinito al infinito. Por ejemplo, la línea de campo que va por el eje de una espira circular o de un solenoide.

Que se enrollen sobre sí mismas sin llegarse a cerrar. Supongamos la superposición de dos sistemas simples, una espira circular y un un hilo infinito.

En los dos primeros casos las líneas son cerradas. Sin embargo, en su superposición, las líneas giran alrededor del hilo a la vez que lo hacen en torno a la espira, resultando líneas que dan vueltas por la superficie de toros, sin llegar a cerrarse nunca (en la figura se ve parte de una sola línea de campo). Para sistemas un poco más complejos, las líneas pueden ser incluso caóticas, llenando toda una región del espacio.

De hecho, dado que los sistemas reales no poseen la perfecta simetría de una circunferencia o de un hilo idealmente rectilíneo, lo que ocurre en todos los casos prácticos es que las líneas no son cerradas, sino que forman madejas.

Ley de Gauss para el campo magnético

De Laplace

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1 Forma diferencial

1.1 Demostración

2 Forma integral

2.1 Significado geométrico

3 Condición de salto

4 ¿Son cerradas las líneas de campo magnético?

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