Energía de interacción entre dos dipolos

De Laplace

1 Enunciado

Sobre una mesa horizontal se colocan dos brújulas (equivalentes a dipolos magnéticos) iguales, de forma que sus centros distan una cantidad $a$ . Las dos brújulas pueden girar en el plano horizontal. Considerando que la interacción brújula-brújula es mucho mayor que la acción del campo magnético terrestre, ordene las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energía. ¿Cómo se orientarán las brújulas?

2 Solución

Para calcular la energía del sistema debemos imaginar un proceso de creación. Situar la primera brújula no cuesta trabajo (despreciando la interacción con el campo terrestre).

Por simplicidad, supondremos el origen de coordenadas en la posición de este dipolo. Al acercar la segunda brújula debemos realizar un trabajo

$U_\mathrm{m}=-\mathbf{m}_2{\cdot}\mathbf{B}_1(\mathbf{r}_2)$

donde $\mathbf{B}_1(\mathbf{r}_2)$ es el campo producido por el primer dipolo en la posición del segundo. Recordando el campo magnético de un dipolo

$\mathbf{B}_1=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}_1{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}_1}{r^5}$

resulta, para la energía

$U_\mathrm{m}=-\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}_1{\cdot}\mathbf{r}_2)(\mathbf{m}_2{\cdot}\mathbf{r}_2)-r_2^2(\mathbf{m}_1{\cdot}\mathbf{m}_2)}{r_2^5}$

Podemos simplificar un poco esta expresión considerando que los centros de los dipolos están a una distancia $\mathbf{r}_2=a\mathbf{u}_{x}$ . Por otro lado, como las dos brújulas son iguales, su módulo será el mismo, aunque su orientación varíe. Podemos entonces escribir $\mathbf{m}_1=m\mathbf{u}_{1}$ y $\mathbf{m}_2=m\mathbf{u}_{2}$ y la energía queda

$U_\mathrm{m}=-\frac{\mu_0 m^2}{4\pi a^3}\left(3(\mathbf{u}_{1}{\cdot}\mathbf{u}_{x})(\mathbf{u}_{2}{\cdot}\mathbf{u}_{x})-\mathbf{u}_{1}{\cdot}\mathbf{u}_{2}\right)= -A(3\cos\alpha\,\cos\beta-\cos(\alpha-\beta))$

donde $A = μ 0 m 2 / 4π a 3$ y $α$ y $β$ son los ángulos que los dipolos forman con la línea que une sus centros.

Se trata ahora de considerar las cuatro posiciones, sustituir los valores de $α$ y $β$ y determinar la posición de mínima energía

En la primera posición $α = β = π / 2$ y

$U_\mathrm{a}=-A(3{\cdot}0{\cdot}0-1)=A$

En la segunda

$\alpha=\beta=\pi \quad\Rightarrow\quad U_\mathrm{b}=-A(3 {\cdot}(-1){\cdot}(-1)-1)=-2A$

En la tercera $α = π$ , $β = 0$

$U_\mathrm{c}= -A(3{\cdot}(-1){\cdot}1-(-1))=2A$

Por último, se tiene $α = π / 2$ , $β = - π / 2$

$U_\mathrm{d}=-A(3{\cdot}0{\cdot}0-(-1))=-A$

Vemos que el orden de energías es

U b < U d < U a < U c

y la segunda posición es la más favorable.

Podemos entender este resultado observando que los dipolos siempre tienden a alinearse según la dirección del campo magnético aplicado. Suponiendo fija la orientación de uno de los dipolos, las dos posiciones en las que se cumple esta condición son la (b) y la (d). El cálculo muestra además que la (b) es la más favorable de las dos.

Es posible demostrar que se trata de un mínimo absoluto, esto es, que no existe alguna posición no considerada que sea de menor energía. Sólo tenemos que buscar expresamente el mínimo de la función

$U_\mathrm{m}(\alpha,\beta)=-A(3\cos\alpha\,\cos\beta-\cos(\alpha-\beta))=-A(2\cos\alpha\,\cos\beta-\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\mathrm{sen}\,\beta)$

(hemos desarrollado el coseno de una diferencia). Derivando respecto a las variables queda

$0=\frac{\partial{}U_\mathrm{m}}{\partial{}\alpha}=A(2\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\,\mathrm{sen}\,\beta)$ $0=\frac{\partial{}U_\mathrm{m}}{\partial{}\beta}=A(2\cos\alpha\,\,\mathrm{sen}\,\beta+\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\cos\beta)$

Sumando y restando se llega a que para que estas dos funciones se anulen, debe verificarse

$\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\cos\beta=0$ y $\,\mathrm{sen}\,\beta\,\cos\alpha=0$

que, a su vez, implica que

$\mathrm{sen}\,\alpha=0$ y $\mathrm{sen}\,\beta=0$

o que

$\cos\alpha=0\,$ y $\cos\beta=0\,$

En el primer caso tenemos las posibilidades

$\alpha=0\quad\beta=0$ ó $\alpha=0\quad \beta=\pi$

u otras equivalentes. Estas son las posiciones (b) y (c) del enunciado.

En el caso de que se anulen los cosenos, resulta

$\alpha=\beta=\frac{\pi}{2}$ ó $\alpha=-\beta=\frac{\pi}{2}$

que son las posiciones (a) y (d).

Así pues, los cuatro casos del enunciado son los únicos posibles puntos de equilibrio. Calculando sus valores, como hemos hecho, o estudiando la segunda derivada, puede determinarse que la posición (b) es un mínimo absoluto, la (c) un máximo absoluto y la (a) y la (d) son puntos de silla. Este carácter también puede determinarse gráficamente, a partir de la representación tridimensional o de curvas de nivel.

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