Fuerza entre un dipolo y una espira

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un pequeño imán, modelable como un dipolo magnético puntual de momento magnético $\mathbf{m}_0=m_0\,\mathbf{u}_{z}$ , situado a una cierta altura $z 0$ sobre el eje de una espira circular de radio $a$ por la que circula una corriente eléctrica continua de intensidad $I 0$ .

Calcule la fuerza que la espira ejerce sobre el dipolo, y la que el dipolo produce sobre la espira. ¿Se verifica la tercera ley de Newton?

2 De la espira sobre el dipolo

La fuerza sobre el dipolo magnético puede calcularse como

$\mathbf{F}_\mathrm{I\to m}=\left.(\mathbf{m}\cdot\nabla)\mathbf{B}_I\right|_{z=z_0}$

siendo el primer factor el operador escalar

$\mathbf{m}\cdot\nabla = m\frac{\partial\ }{\partial z}$

Por tanto, necesitamos hallar la derivada, con respecto a la coordenada z, del campo magnético de la espira en los puntos del eje Z. Podemos calcular esta cantidad porque conocemos este campo para todo z:

$\mathbf{B}_\mathrm{esp}(z)=\frac{\mu_0I_0 a^2\mathbf{u}_z}{2(a^2+z^2)^{3/2}}$

Si hubiéramos tenido que hallar la derivada respecto a x o a y no habríamos podido calcularla, pues eso requeriría conocer el campo en puntos que no son del eje.

Aplicando el operador al campo

$\mathbf{F}_\mathrm{I\to m}=\left.m\frac{\partial\ }{\partial z}\left(\frac{\mu_0I_0 a^2\mathbf{u}_z}{2(a^2+z^2)^{3/2}}\right)\right|_{z=z_0} = -\frac{3\mu_0I_0ma^2z_0\mathbf{u}_z}{2(a^2+z_0^2)^{5/2}}$

Esta fuerza es nula justo en el centro de la espira y apunta hacia abajo si el dipolo se encuentra encima de la espira y hacia arriba si está por debajo.

El sentido de la fuerza puede entenderse considerando que la espira se comporta como un dipolo cuyo polo norte está en su cara superior y el sur en la inferior, de forma que tanto por arriba como por abajo, tenemos la atracción entre polos opuestos.

3 Del dipolo sobre la espira

La fuerza creada por el dipolo sobre la espira la hallamos mediante la fórmula para la fuerza sobre una corriente

$\mathbf{F}_{m\to I}=I_0\oint \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}_m$

donde $\mathbf{B}_m$ es el campo producido por el dipolo. Para usar la expresión más simple posible, suponemos el origen de coordenadas en la posición del dipolo, de forma que la espira se encuentra $z = - z 0$ .

El campo entonces es

$\mathbf{M}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3((\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}$

Este campo hay que evaluarlo en los puntos en que se encuentra la espira. Usando coordenadas cilíndricas

$\mathbf{r} = a\mathbf{u}_\rho - z_0\mathbf{u}_z$

siendo el módulo

$r = |\mathbf{r}| = \sqrt{a^2+z_0^2}$

lo que nos da

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0m}{4\pi(a^2+z^2)^{5/2}}\left(3(-z_0)(a\mathbf{u}_\rho - z_0\mathbf{u}_z) - (a^2+z_0^2)\mathbf{u}_z\right)$

y

$\mathrm{d}\mathbf{r} = a\,\mathrm{d}\varphi\,\mathbf{u}_\varphi$

Al sustituir nos queda un integrando con una componente en la dirección de $\mathbf{u}_\rho$ y otro en la de $\mathbf{u}_z$ . La primera se anula sobre una circunferencia y queda solamente

$\mathbf{F}_{m\to I}= \frac{\mu_0mI_0}{4\pi}\int_0^{2\pi}\frac{3(-z_0)a}{(a^2+z_0^2)^{5/2}}(a\,\mathrm{d}\varphi) (-\mathbf{u}_z) = \frac{3\mu_0mI_0 a^2z_0}{2(z_0^2+a^2)^{5/2}}$

Esta fuerza es igual en módulo y dirección y sentido opuesto al de la anterior. por tanto, se verifica la tercera ley de Newton.

Fuerza entre un dipolo y una espira

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