De Laplace

Contenido

1 Problemas de boletín
2 Problemas adicionales
3 Preguntas de test

1 Problemas de boletín

1.1 Movimiento a partir de una fuerza conocida

Una partícula material de masa $m$ parte del origen de coordenadas con velocidad $\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}$ , encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición

$\vec{F}(x,y,z)=Az\vec{\imath}-By\vec{\jmath}+C\vec{k}$

siendo $\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}$ la posición instantánea de la partícula, y $A$ , $B$ y $C$ constantes positivas conocidas.

Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, $t$ .

1.2 Masa girando alrededor de una mano

Una masa de 0.5 kg situada en el extremo de una cuerda de 50 cm de longitud se hace girar horizontalmente con la mano de manera que da 2 vueltas por segundo. ¿Puede estar la cuerda completamente horizontal? Determine la tensión de la cuerda y el ángulo que forma con la horizontal.

1.3 Dos bloques apilados

Sobre una mesa horizontal se encuentran apilados dos bloques, siendo el inferior de masa $m 1$ y el superior de masa $m 2$ . El coeficiente de rozamiento estático del bloque inferior con la mesa vale $μ 1$ y el del segundo bloque con el primero $μ 2$ . Los coeficientes de rozamiento dinámico valen lo mismo que los estáticos.

Para el estado de reposo y sin fuerzas laterales aplicadas, indique la fuerza que la mesa ejerce sobre el bloque inferior y el que éste ejerce sobre el superior.
Suponiendo $μ 1 = 0$ , se tira del bloque inferior con una fuerza horizontal $F$ . ¿Qué fuerzas actúan sobre cada bloque? ¿Cuánto debe valer como mínimo esta fuerza si se quiere que el bloque superior se quede atrás? ¿Cuánto vale la aceleración de cada bloque para valores de la fuerza inferiores o superiores a este valor crítico?
Resuelva las mismas cuestiones que en el apartado anterior, suponiendo ahora $\mu_1\neq 0$ .
Calcule los valores de las diferentes fuerzas y las aceleraciones si $m_1 = 3.00\,\mathrm{kg}$ , $m_2 = 2.00\,\mathrm{kg}$ , $μ 1 = 0.30$ , $μ 2 = 0.50$ para (a) $F=10.0\,\mathrm{N}$ (b) $F=20.0\,\mathrm{N}$ (c) $F=50.0\,\mathrm{N}$

1.4 Máquina de Atwood simple

Una máquina de Atwood es un dispositivo simple compuesto por una polea por la que pasa una cuerda, de cuyos extremos penden dos masas $m 1$ y $m 2$ . En el caso ideal se supone que la cuerda es inextensible y sin masa, y que la polea tampoco tiene masa ni fricción.

Para este caso ideal, calcule la aceleración de cada masa, la tensión de la cuerda y la fuerza que ejerce el gancho que sujeta la polea.

1.5 Dos masas, un plano y un hilo

Se tienen dos masas $m 1$ y $m 2$ atadas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea también ideal (de masa despreciable y sin rozamiento). La masa $m 1$ se encuentra sobre un plano inclinado un ángulo $α$ y entre ambos puede existir un coeficiente de rozamiento (estático y dinámico) $μ$ . La masa $m 2$ cuelga verticalmente.

Considere en primer lugar el caso $α = 0$ (mesa horizontal). Si no hay rozamiento, ¿pueden quedarse en equilibrio las masas? ¿Cuál es su aceleración en ese caso? Si el coeficiente de rozamiento no es nulo, ¿cuál es su mínimo valor para que haya equilibrio? Si el rozamiento es menor que este mínimo, ¿cuáles son las aceleraciones de las masas?
Suponiendo $\alpha\neq 0$ pero sin rozamiento, determine la aceleración de las masas. ¿Cuál debe ser la relación entre ellas para que el sistema se quede en equilibrio?
Si $\mu\neq 0$ ¿Entre qué valores mínimo y máximo debe estar $m 2$ para que las masas queden en equilibrio?
Sea $m_1=5.00\,\mathrm{kg}$ , $tg(α) = 0.75$ y $μ = 0.30$ . ¿Cuánto vale la aceleración de las masas si (a) $m_2 = 1.50\,\mathrm{kg}$ , (b) $m_2 =3.00\,\mathrm{kg}$ y (c) $m_2 = 4.50\,\mathrm{kg}$ .

1.6 Masa con resorte en plano inclinado

Un bloque de peso $mg=40\,\mathrm{N}$ se encuentra sobre un plano inclinado de altura $h=1.2\,\mathrm{m}$ y pendiente del 75%. El bloque se encuentra atado al punto superior del plano por un resorte de constante $k=30\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud natural $l_0=20\,\mathrm{cm}$ . Para hacer el estudio se considera el sistema de ejes indicado en la figura.

Suponiendo que no existe rozamiento entre el bloque y el plano, determine la distancia $x eq$ a la que la masa se queda en equilibrio.
Suponga que inicialmente el bloque se encuentra sujeto a una distancia igual a la longitud natural del resorte y en ese momento se suelta. ¿Cuánto vale su rapidez cuando pasa por la distancia de equilibrio $x eq$ ? ¿Cuál es la distancia máxima $x max$ a la que llega el bloque?
Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento estático $μ = 0.25$ entre el bloque y el plano. ¿Entre qué valores de $x$ puede situarse la masa en reposo, quedándose en equilibrio?

1.7 Doble máquina de Atwood

La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales (inextensibles y sin masa) y dos poleas también ideales (de masa despreciable y sin rozamiento). Determine la aceleración de cada una de las masas, así como las tensiones de las dos cuerdas.

1.8 Movimiento de un péndulo

Tenemos un péndulo simple formado por una lenteja de 0.5 kg que cuelga de una varilla rígida de masa despreciable y 1.20 m de longitud.

Si se separa la lenteja de la vertical un ángulo de 5° y se suelta desde el reposo, ¿con qué rapidez pasa la masa por el punto más bajo? ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a esta posición?
¿Cuánto vale la tensión de la varilla en el momento de soltar la masa? ¿Y en el punto más bajo?
Suponga que se ajusta un reloj suponiendo que se usa el péndulo anterior, pero resulta que en realidad la varilla mide 115 cm. El reloj ¿atrasa o adelanta? ¿Cuánto cada día?

1.9 Curvas y peraltes

El circuito de Indianápolis posee curvas de 200m de radio peraltadas un ángulo de 9º12'.

Si no se considera el rozamiento, ¿con qué rapidez debe ir un coche si no quiere deslizarse ni hacia arriba ni hacia abajo?
El coeficiente de rozamiento lateral de un coche con la pista vale $μ = 1.50$ . ¿Cuáles son las velocidades máximas y mínimas que puede adquirir un coche sin derrapar?

1.10 Masa suspendida de dos muelles

Se dispone de una masa $m=1\,\mathrm{kg}$ y de resortes de longitud natural 10 cm y constantes $k_1= 900\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y $k_2=1600\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

Suponga que se cuelga la masa del techo colocando en paralelo los dos resortes. En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la masa al techo?
Para este caso, si la masa está en la posición de equilibrio y se le comunica una velocidad de 10 cm/s hacia arriba, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes? ¿Y su frecuencia?
Suponga ahora que los resortes se conectan en serie, uno a continuación del otro y se suspenden del techo, con la masa en el extremo inferior. ¿Cuánto se estira cada resorte?
Si para este segundo caso se le comunica a la masa en el equilibrio una velocidad de 10 cm/s hacia abajo, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones?

1.11 Dos resortes enfrentados

Una partícula de masa $m$ se encuentra situada entre dos resortes de longitudes en reposo $l 10$ y $l 20$ , que se encuentran atados a paredes opuestas separadas una distancia $L$ . Los muelles poseen constantes de recuperación $k 1$ y $k 2$ .

Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿A cuanto tiende esta posición si $k_1\to\infty$ ? ¿Y si $k_2\to\infty$ ?
Estando en la posición de equilibrio, se le comunica a la masa una velocidad $v 0$ . Determine la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones resultantes.
Considere el caso particular $m=1.00\,\mathrm{kg}$ , $L= 50\,\mathrm{cm}$ $k_1=64\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $l_{10}=16\,\mathrm{cm}$ , $k_2=36\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y $l_{20}=9\,\mathrm{cm}$ . ¿Dónde se encuentra la posición de equilibrio? ¿Cuál será su amplitud y frecuencia si desde la posición de equilibrio se le comunica una velocidad +0.20 m/s?
Si para el caso práctico anterior se encuentra la masa en reposo en la posición de equilibrio y en ese momento se corta su atadura con el muelle 2, ¿cuál es la amplitud y la frecuencia que las oscilaciones que describe a partir de ese momento?

1.12 Amortiguamiento viscoso

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma $\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}$ . Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa $m$ impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia $x 0$ hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

1.13 Partícula suspendida de dos muelles

Una partícula de peso 2 N cuelga del techo suspendida de dos muelles en paralelo, ambos de longitud natural 15 cm. El muelle 1 tiene constante $k_1=10\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y el 2 $k_2 = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la partícula al techo?
Si, estando en la posición anterior, se corta la unión de la masa con el muelle 2, ¿cuánto vale la amplitud de las oscilaciones resultantes?

1.14 Caso particular de dos resortes enfrentados

Una masa $m=1.00\,\mathrm{kg}$ se encuentra atada a dos paredes separadas una distancia $d= 50\,\mathrm{cm}$ mediante dos resortes, uno (el de la izquierda) con constante de recuperación $k_1=64\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud natural $l_{10}=16\,\mathrm{cm}$ , y el otro con constante $k_2=36\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud natural $l_{20}=9\,\mathrm{cm}$ . El conjunto se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento, de forma que el peso puede ser ignorado.

Determine la distancia de la masa a las dos paredes cuando se encuentra en la posición de equilibrio. ¿Qué fuerza ejerce cada muelle sobre la masa?
Si estando en la posición de equilibrio se comunica una velocidad de 0.20 m/s a la masa hacia la derecha, ¿cuál es la amplitud de las oscilaciones que describe? ¿Y su frecuencia angular ω?
Suponga de nuevo que la masa se encuentra en reposo en la posición de equilibrio y bruscamente se corta su unión con el muelle 2. ¿Que amplitud tienen las oscilaciones de la masa y qué frecuencia angular?
Si en el apartado anterior, el muelle que se corta es el 1, manteniéndose la unión con el 2, ¿se producen oscilaciones? ¿Con qué amplitud y frecuencia natural?

1.15 Resorte con rozamiento seco

Se tiene una masa $m=5.00\,\mathrm{kg}$ atada a un resorte de constante $k=10.0\,\mathrm{N}/\mathrm{cm}$ y longitud en reposo $l_0=150\,\mathrm{mm}$ . La masa reposa sobre una superficie horizontal sobre la que existe un pequeño coeficiente de rozamiento $μ = 0.10$ . El muelle se comprime una cantidad $b=50\,\mathrm{mm}$ respecto a su posición de equilibrio.

Despreciando en primer lugar el rozamiento, determine la máxima distancia de la pared a la que llega la masa.
Teniendo en cuenta el rozamiento, ¿cuánto vale la distancia de máximo alejamiento?
Al volver a comprimirse el muelle, la masa no retorna a su posición inicial. ¿A qué distancia de la pared se detiene instantáneamente?
¿Al cabo de cuantas oscilaciones se detiene del todo? ¿Dónde se queda parada?

1.16 Partícula en el interior de un tubo

Una partícula de masa $m$ se encuentra en el interior de un tubo estrecho, el cual se halla en todo momento contenido en el plano OXY girando con velocidad angular $ω$ constante alrededor del eje OZ, de forma que la posición de la partícula puede escribirse como

$x = \rho\,\mathrm{cos}(\omega t)\,$ $y= \rho\,\mathrm{sen}(\omega t)$

donde $\rho = \rho(t)\,$ , función que hay que determinar, define la posición de la partícula a lo largo del tubo.

Halle la ecuación diferencial que debe satisfacer $\rho(t)\,$ sabiendo que el tubo no puede ejercer fuerza en la dirección longitudinal (no hay rozamiento).
Suponga que
1. Compruebe que se trata de una solución de la ecuación diferencial
2. Calcule la fuerza ejercida por el tubo en cada instante.
3. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración
Si se analiza este movimiento desde un sistema de referencia ligado al tubo
1. ¿Qué fuerzas actúan sobre la partícula?
2. ¿Cuál de ellas acelera a la partícula? ¿Por qué aparece una fuerza del tubo sobre la partícula?

1.17 Fuerza en anilla ensartada en varillas

Para el sistema de la anilla ensartada en dos varillas, calcule la fuerza que cada una de las barras ejerce cada instante sobre la anilla, suponiendo ésta de masa m, (a) despreciando el peso, (b) considerando el peso en la dirección de OY negativo. Tenga en cuenta que cada barra solo puede ejercer fuerza perpendicularmente a sí misma, no a lo largo de ella.

1.18 Dos masas en planos inclinados y un muelle

Dos masas iguales de peso $mg=75\,\mathrm{N}$ situadas sobre dos planos inclinados contiguos, de las dimensiones mostradas en la figura. Las dimensiones son tales que el ángulo en O es recto.

Las masas están unidas por un resorte ideal de longitud natural nula y constante $k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . No hay rozamiento con las superficies.

Determine la posición de equilibrio de las dos masas, hallando los valores de $x$ e $y$ .
Para esta posición de equilibrio, calcule las fuerzas de reacción ejercidas por los planos, así como la fuerza elástica que el resorte ejerce sobre cada masa.
Suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento estático μ = 0.25 entre las masas y las superficies en que se apoyan. En ese caso hay un rango de posiciones en las que puede producirse el equilibrio. ¿Cuánto valen $x$ e $y$ para la posición de equilibrio con mínima longitud del resorte? ¿Y para el caso de máxima longitud del resorte?

Sugerencia: Empléense los ejes de la figura.

2 Problemas adicionales

2.1 Partícula suspendida de resorte y barra

Una partícula de peso $P = 30\,\mathrm{N}$ se encuentra atada simultáneamente a una barra rígida de longitud $L=80\,\mathrm{cm}$ y a un muelle de longitud natural nula y constante $k=40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Los anclajes de la barra y el resorte distan $D=100\,\mathrm{cm}$ .

Determine la posición de equilibrio de la masa. ¿Cuánto vale la tensión de la barra en este momento? ¿Cuál es la longitud del resorte?
Suponga que se corta la unión de la masa con el resorte. ¿Qué tipo de movimiento describe la masa a partir de ese momento? Halle la rapidez máxima que alcanza.
Suponga que, en lugar de lo anterior, se corta la unión de la masa con la barra. ¿Qué movimiento describe en ese caso? Calcule la amplitud y frecuencia del movimiento resultante. Halle la rapidez máxima que alcanza.

2.2 Partícula suspendida de dos hilos

Una partícula de peso 300 N cuelga de un techo horizontal sujeta por dos hilos (“1” y “2”). El hilo 1 forma un ángulo de 30° con la vertical, mientras que el hilo 2 forma uno de 60° con la vertical. ¿Cuánto valen, en módulo, las tensiones de los dos hilos?

2.3 Masa que cuelga de dos poleas

Un bloque con un peso de 100 N cuelga de dos hilos que pasan por sendas poleas ideales colgadas del techo y separadas 100 cm. En los otros extremos de los hilos cuelgan masas $m 1$ y $m 2$ . En el equilibrio, la masa central se halla a 36 cm en la horizontal de la primera polea y 48 cm en la vertical. Las otras dos masas se encuentran a la misma altura respecto al techo.

Calcule los pesos de las dos masas de los extremos que garantizan que el sistema está en equilibrio.
Supongamos que agarramos la masa central y la desplazamos lentamente 28 cm hacia la derecha, sujetándola en la nueva posición. ¿Qué fuerza extra debe hacerse sobre la masa central para mantener el sistema quieto en esa posición?
¿Qué trabajo hay que realizar para llevar a cabo el desplazamiento anterior?

Dato:

$\sqrt{(3b)^2+(4b)^2}=5b$

2.4 Partícula cargada en campo magnético uniforme

Una carga q en campo magnético experimenta una fuerza

$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$

Se trata de deducir cómo se mueve la partícula en el caso en el que el campo magnético sea una constante independiente de la posición.

$\vec{B}=B_0\vec{k}$

Suponga en primer lugar que la velocidad inicial de la partícula es paralela al campo magnético, $\vec{v}_0 = v_0\vec{k}$ . ¿Cuánto vale la aceleración en el instante inicial? ¿Cuanto vale la velocidad un instante posterior? ¿Cómo es el movimiento de la carga en ese caso?
Suponga ahora el caso de una carga cuya velocidad inicial es perpendicular al campo magnético, .
1. Demuestre que el movimiento resultante es un movimiento plano.
2. Demuestre que la rapidez del movimiento es constante
3. Calcule el radio de curvatura de la trayectoria que describe la carga
4. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
Suponga, por último, una velocidad inicial arbitraria $\vec{v}_0 = v_{x0}\vec{\imath}+v_{z0}\vec{k}$ . Combinando los resultados anteriores, ¿qué movimiento realiza la carga?

2.5 Cadena que cae de una mesa

Suponga una mesa horizontal sin rozamiento sobre la cual se halla una cadena de longitud $L$ y masa $M$ distribuida uniformemente. Esta cadena está estirada de forma que una parte de ella, de longitud $s$ , pende por el lateral de la mesa. Esta parte colgante tira del resto, por lo que la cadena empieza a resbalar por la mesa cayendo aceleradamente.

Determine la aceleración de los puntos de la cadena como función de $s$ . Si inicialmente sobresale una cantidad $s 0$ y la velocidad inicial es nula, ¿cómo varía $s$ con el tiempo mientras resbala la cadena?

3 Preguntas de test

3.1 Partícula que cuelga de dos muelles

Una partícula de peso 2 N cuelga del techo suspendida de dos muelles en paralelo, ambos de longitud natural 15 cm. El muelle 1 tiene constante $k_1=10\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y el 2 $k_2 = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

En el equilibrio, ¿cuál es la distancia de la partícula al techo?

A 2 cm.
B 75 cm.
C 19 cm.
D 40 cm.

Si, estando en la posición anterior, se corta la unión de la masa con el muelle 2, ¿cuánto vale la amplitud de las oscilaciones resultantes?

A 1 cm.
B 35 cm
C 0 cm.
D 16 cm.

3.2 Masa que cuelga de dos hilos

Una partícula de peso 300 N cuelga de un techo horizontal sujeta por dos hilos (“1”' y “2”'). El hilo 1 forma un ángulo de 30° con la vertical, mientras que el hilo 2 forma uno de 60° con la vertical. ¿Cuánto valen, en módulo, las tensiones de los dos hilos?

A $|\vec{T}_1|= 260\,\mathrm{N}$ , $|\vec{T}_2| = 150\,\mathrm{N}$
B $|\vec{T}_1|= 200\,\mathrm{N}$ , $|\vec{T}_2| = 100\,\mathrm{N}$
C $|\vec{T}_1|=|\vec{T}_2| = 150\,\mathrm{N}$
D $|\vec{T}_1|= 100\,\mathrm{N}$ , $|\vec{T}_2| = 200\,\mathrm{N}$

3.3 Fuerza entre dos cargas

Dos partículas cargadas con masas $m 1 = m$ y $m 2 = 2 m$ y cargas $q 1 = q 2 = q 0$ se encuentran a una cierta distancia la una de la otra. Se sujetan las dos partículas de forma que estén en reposo. Entonces se sueltan simultáneamente las dos. ¿Cómo son las dos aceleraciones de las partículas tras la liberación?

A $\vec{a}_2 = -2\vec{a}_1$ .
B $\vec{a}_1 = -\vec{a}_2$
C $\vec{a}_1 = -2\vec{a}_2$ .
D Nulas.

3.4 Otra masa que cuelga de dos hilos

En la situación de equilibrio de la figura de una masa atada con dos hilos, ¿cuánto valen los módulos de las tensiones respectivas?

A $|\vec{T}_1| = 15\,\mathrm{N}$ , $|\vec{T}_2| = 5\,\mathrm{N}$ .
B $|\vec{T}_1| = 10\,\mathrm{N}$ , $|\vec{T}_2| = 10\,\mathrm{N}$ .
C $|\vec{T}_1| = 10\,\mathrm{N}$ , $|\vec{T}_2| = 30\,\mathrm{N}$ .
D $|\vec{T}_1| = 0\,\mathrm{N}$ , $|\vec{T}_2| = 20\,\mathrm{N}$ .

3.5 Movimiento de una partícula sometida a una fuerza constante

Una partícula de masa $m$ se encuentra inicialmente en $\vec{r}=\vec{0}$ moviéndose con velocidad $\vec{v}_0=v_0(3\vec{\imath}+4\vec{\jmath})$ . Se encuentra sometida a una fuerza constante $\vec{F}=-F_0\vec{\imath}$

¿Qué tipo de trayectoria sigue la partícula?

A Helicoidal
B Rectilínea.
C Parabólica
D Elíptica

¿Cuánto vale su aceleración tangencial en $t = 0$ ?

A Es nula.
B $- 3 F 0 / (5 m)$ .
C $4 F 0 / (5 m)$ .
D $- 3 F 0 / m$ .

3.6 Comparación de fuerzas de rozamiento

Se tienen las dos situaciones de las figuras.


(a)	(b)

En ambos casos el módulo de la fuerza aplicada y el ángulo con la horizontal es el mismo y el coeficiente de rozamiento estático es lo bastante grande como para que la masa no se mueva. ¿En cuál de las dos situaciones es mayor la fuerza de rozamiento?

A En el caso (a)
B En el caso (b)
C Es la misma en los dos casos.
D No hay forma de saberlo.

3.7 Péndulo en plano inclinado

Por un plano inclinado desciende sin rozamiento una caja rectangular. En el interior de la caja cuelga un péndulo que no está oscilando. Indique cuál de las siguientes figuras representa correctamente la inclinación del péndulo.

A	B


C	D

3.8 Péndulo rotatorio

En la ilustración de la figura una masa $m$ está sujeta a un péndulo, pero gira sin oscilar. ¿Cuánto vale la velocidad angular con la que gira el soporte?

A 4.20 rad/s
B 1.75 rad/s.
C 3.50 rad/s.
D Depende del valor de la masa.

Problemas de dinámica de la partícula (GIE)