Amortiguamiento viscoso

De Laplace

1 Enunciado

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma $\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}$ . Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa $m$ impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia $x 0$ hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

2 Solución

La bala, una vez que penetra en la silicona, se ve frenada. Inicialmente entra con una velocidad $\vec{v}_0$ , que suponemos horizontal, y la fuerza de rozamiento va reduciendo su rapidez, hasta que llega a detenerse por completo. Hasta que se para recorre una cierta distancia $Δ x$ . Se trata de calcular esta distancia y relacionarla con la velocidad inicial.

Lu ecuación de movimiento de la bala se reduce a

$m\vec{a}=-\gamma\vec{v}$

con las condiciones iniciales

$\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0\qquad \vec{}(t=0)=\vec{0}$

Despreciando el efecto del peso, podemos suponer que el movimiento es horizontal en todo instante, lo cual nos permite emplear cantidades escalares

$\vec{r}=x\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}=v\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}=a\vec{\imath}$

lo cual nos deja con las ecuaciones escalares

$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\gamma v\qquad \qquad v(0)=v_0\qquad\qquad x(0) = 0$

La solución de esta ecuación diferencial es elemental, ya que podemos separarla en dos integrales

$\frac{\mathrm{d}v}{v}=- \frac{\gamma}{m}\,\mathrm{d}t\qquad\Rightarrow\qquad\int_{v_0}^v\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\frac{\gamma}{m} \int_0^t\mathrm{d}t$

siendo el resultado

$\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = -\frac{\gamma}{m} t\qquad\Rightarrow\qquad v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}$

Vemos que la velocidad decae exponencialmente y (teóricamente), nunca llega a pararse. Ello no quiere decir que la distancia recorrida sea infinita, ya que el área bajo la curva es finita. Integrando de nuevo tenemos

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\qquad\Rightarrow\qquad x = \int_0^t v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\mathrm{d}t=\frac{mv_0}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)$

Esta integral se va acercando asintóticamente a un valor constante.

Cuando $t\to\infty$ la velocidad de la bala se anula y la distancia total que recorre es