Doble máquina de Atwood

De Laplace

1 Enunciado

Una máquina de Atwood es un dispositivo simple compuesto por una polea por la que pasa una cuerda, de cuyos extremos penden dos masas $m 1$ y $m 2$ . En el caso ideal se supone que la cuerda es inextensible y sin masa, y que la polea tampoco tiene masa ni fricción. La doble máquina de Atwood de la figura está formada por tres masas unidas a través de dos cuerdas ideales y dos poleas también ideales. Determine:

La aceleración de cada una de las masas
Las tensiones de las dos cuerdas.
La fuerza que ejerce el gancho del que cuelga el sistema.

2 Solución

En este sistema, sobre cada masa actúa su peso y la tensión de la cuerda que lo sostiene. Tomamos el eje OX como vertical y hacia abajo, con el origen en el centro de la polea superior. Dado que el movimiento es puramente rectilíneo, podemos usar cantidades escalares. En este caso, la segunda ley de Newton para las tres masas nos da

$\begin{array}{rcl} m_1a_1&=&m_1g-F_{T1}\\ m_2a_2&=&m_2g-F_{T2}\\ m_3a_3&=&m_3g-F_{T3} \end{array}$

Aquí tenemos tres ecuaciones, pero 6 incógnitas, ya que las 3 tensiones tamnién son desconocidas (NO son iguales al peso).

Para ello, debemos aplicar las ecuaciones de vínculos, que se refieren a la existencia de los hilos que unen las masas.

Por ser de masa nula, las tensiones de cada hilo son del mismo módulo en todos sus puntos (pero no iguales las del primer hilo a las del segundo). Aplicando esto al hilo que une las masas 2 y 3

$F_{T2}=F_{T3}\,$

Para relacionar estas tensiones con las del otro hilo, $F T 1$ , analizamos la 2ª ley de Newton para la polea pequeña. Al ser ideal es de masa nula, por lo que

$\overbrace{m_0}^{=0}a_2=F_{T2}+F_{T3}-F_{T1}\qquad\Rightarrow\qquad F_{T1}=F_{T2}+F_{T3}$

Obsérvese que esta polea se está moviendo, pero al ser de masa nula no tiene inercia, por lo que la suma de las fuerzas debe anularse (si no, saldría una aceleración infinita).

Ya tenemos 5 ecuaciones. La sexta sale de que los hilos son inextensibles, por lo tanto, la suma de los diferentes tramos de cada hilo debe salir una constante.

Si llamamos $x 0$ a la posición en que se encuentra la polea pequeña, se cumple, para el primer hilo

$x_1+x_0 = \ell_1 = \mathrm{cte}$

Para el segundo hilo, el que pasa por la polea móvil, la longitud de los dos tramos es, respectivamente, $(x 2 - x 0)$ (a la izquierda) y $(x 3 - x 0)$ (a la derecha), por lo que tenemos la ecuación

$(x_2-x_0)+(x_3-x_0)= x_2+x_3-2x_0=\ell_2$

Sumando esta ecuación con el doble de la anterior llegamos a la relación entre las posiciones

$x_2+x_3+2x_1=\ell_2+2\ell_1=\mathrm{cte.}$

Derivando aquí dos veces respecto al tiempo, obtenemos una relación entre las aceleraciones

$a_2+a_3+2a_1=0\,$

Tenemos entonces el siguiente sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas

$\begin{array}{rcl} m_1a_1&=&m_1g-F_{T1}\\ m_2a_2&=&m_2g-F_{T2}\\ m_3a_3&=&m_3g-F_{T3} \\ F_{T2}&=&F_{T3}\\ F_{T1}&=&F_{T2}+F_{T3}\\ a_2+a_3+2a_1&=&0 \end{array}$

Al ser un sistema lineal puede resolverse de múltiples maneras. Por ejemplo, podemos despejar las tensiones