De Laplace

Revisión a fecha de 18:53 7 oct 2014; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

1 Problemas de boletín

1.1 Rapidez de impacto

Una partícula está sometida exclusivamente a la acción de la gravedad. Si se lanza con velocidad $+ v 0$ en dirección vertical hacia arriba desde un punto de altura $h$ . ¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo? Si en vez de lanzarse hacia arriba se lanza hacia abajo, con velocidad $- v 0$ , ¿llegará con una rapidez mayor?

1.2 Persecución policial

Las especificaciones del Seat Exeo establecen que va de 0 a 100 km/h en 9.2 s. ¿Cuánto vale su aceleración media en este periodo? ¿Cuánto vale el tiempo mínimo para atravesar un cruce de 15 m de anchura, si parte de estar parado en un semáforo? ¿Con qué velocidad llegaría al otro lado?

Un Seat León FR amarillo circula por la carretera a 160 km/h y pasa junto a un coche de la Guardia Civil parado en el arcén. Sabiendo que la benemérita usa un Seat Exeo, ¿cuál es el mínimo tiempo que tarda en alcanzar al Seat León si este no reduce su velocidad? ¿A qué distancia del punto donde estába parado lo alcanza? ¿Qué velocidad tiene el coche patrulla cuando alcanza al infractor?

1.3 Movimiento con datos numéricos

La posición de una partícula en distintos instantes de tiempo es, aproximadamente

t (s)	0.00	0.25	0.50	0.75	1.00	1.25	1.50
x (m)	0.000	6.125	9.750	11.250	11.000	9.375	6.750

t (s)	1.75	2.00	2.25	2.50	2.75	3.00
x (m)	3.500	0.000	-3.375	-6.250	-8.250	-9.000

Para este movimiento, halle:

El desplazamiento entre $t = 0\,\mathrm{s}$ y $t=3\,\mathrm{s}$ , así como el valor aproximado de la distancia recorrida en dicho intervalo.
La velocidad media y la rapidez media en el intervalo anterior.
El valor aproximado de la velocidad en $t= 2\,\mathrm{s}$ .
El valor aproximado de la aceleración en $t= 2\,\mathrm{s}$ .
Sabiendo que este movimiento sigue una ley de la forma

$x = A_0 + A_1 t + A_2 t^2 + A_3 t^3\,$

Calcule

Los valores de las constantes $A k$ .
El valor exacto de la distancia recorrida y la rapidez media.
El valor exacto de la velocidad y de la aceleración en $t = 2\,\mathrm{s}$ .

1.4 Calculo de magnitudes a partir de v(t)

Una partícula se mueve a lo largo de una recta de forma que su velocidad sigue la ley, en el SI

$v(t) = (3t^2-66t+216)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=24\,\mathrm{s}$ . La posición inicial es $x(0) = 0\,\mathrm{m}$ . Halle:

La posición de la partícula en cada instante del intervalo indicado.
La velocidad media de la partícula en este intervalo.
Los valores máximo y mínimo de $x$ .
La distancia recorrida en ese intervalo y la rapidez media.
Los valores máximo y mínimo de la velocidad y la rapidez.
La aceleración en todo instante.

1.5 Ejemplos de velocidad en función de la posición

1) La velocidad de una partícula sigue la ley

$v = \sqrt{Ax}$

siendo $x$ la distancia recorrida desde el instante inicial.

Calcule la aceleración de la partícula. ¿Qué tipo de movimiento describe?

2) Una partícula se mueve en línea recta, cumpliendo su velocidad instantánea

$v = \sqrt{A- B x^2}$

con $A$ y $B$ constantes positivas.

¿En que se medirá $B$ en el SI?
¿Cómo depende de la posición la aceleración de la partícula?

1.6 Velocidad decreciente con la posición

Mediante una serie de sensores se mide la velocidad de un vehículo en puntos equiespaciados, obteniéndose la tabla

$x\,(\mathrm{m})$	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
$v\,(\mathrm{km}/\mathrm{h})$	108	90	72	54	36	18

¿Qué ley sencilla cumple la velocidad como función de la posición?
Determine la aceleración como función de $x$ . ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado?
Halle el valor de la aceleración en cada uno de los puntos de medida.
Calcule el tiempo empleado en recorrer los 500 m. Si continúa con este movimiento, ¿cuánto tardará en recorrer 600 m?

1.7 Movimiento sinusoidal cuadrático

Una partícula oscila según la ley

$x(t) = C\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)$

Pruebe que se trata de un movimiento armónico simple. ¿Cuál es su posición de equilibrio?
¿Cuánto valen la frecuencia, periodo y amplitud de este movimiento?

1.8 Frenado de un fórmula 1

Cuando el Ferrari de Fernando Alonso se acerca a la chicane de Monza, su velocidad a 150 m de ésta es de 340 km/h. Cuando entra en la chicane va a 80 km/h.

Suponiendo que la aceleración es constante, determine su valor.
Exprese el resultado en el SI y como un múltiplo de $g$ (siendo $g=9.80665\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ ).
Determine la velocidad como función de la posición y represéntela gráficamente.

1.9 Estudio de un movimiento armónico simple

Un oscilador armónico con posición de equilibrio $x = 0$ se mueve de tal forma que en $t=0.00\,\mathrm{s}$ la partícula se halla en $x_0=0.80\,\mathrm{m}$ , moviéndose con velocidad $v_0=+0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y aceleración $a_0=-0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ . Halle la frecuencia $ω$ y el periodo del movimiento, su amplitud de oscilación y la fase inicial. Exprese los fasores (amplitudes complejas) de la posición, velocidad y aceleración.

1.10 Integración aproximada de la velocidad

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica

La partícula parte de $x = 0$ .

Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en $t=10\,\mathrm{s}$ .
Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad, en el SI, es

$v = \frac{14.4t}{(t+2)^2}$

¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?

Con ayuda de la cuadrícula halle el valor aproximado de la aceleración en $t = 3\,\mathrm{s}$ . Calcule el valor exacto y el error cometido con la aproximación.

1.11 Calculo gráfico de velocidad media

La velocidad de una partícula en un movimiento rectilíneo sigue aproximadamente la gráfica de la figura cuando se representa frente al tiempo.

¿Cuánto vale aproximadamente la velocidad media entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=12\,\mathrm{s}$ ?
¿Cuánto vale la distancia total recorrida por la partícula en el mismo intervalo?
De los cuatro instantes siguientes, ¿en cual la aceleración tiene el mayor valor absoluto? (a) 0.0 s; (b) 5.0 s; (c) 8.0 s; (d) 9.5 s.

2 Problemas adicionales

2.1 Aproximación numérica de la velocidad y la aceleración

La posición de una partícula en distintos instantes de tiempo es, aproximadamente

$t$ (s)	0.0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
$x$ (m)	0.00	-0.04	-0.06	-0.06	-0.04	0.00	0.06	0.14	0.24	0.36	0.50

¿En qué momento es máxima la velocidad? ¿En qué momento es nula? Calcule aproximadamente la velocidad en el intervalo entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=1\,\mathrm{s}$ .
Calcule aproximadamente la aceleración en el mismo intervalo.

2.2 Ejemplo de integración numérica

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, siendo su velocidad (en el SI) como función del tiempo, la dada por la gráfica

La partícula parte de $s = 0$ .

Aprovechando los puntos en que la curva cruza la cuadrícula, calcule aproximadamente la posición en que se encontrará la partícula en $t=16\,\mathrm{s}$ .
Calcule el valor exacto de esta posición, sabiendo que la ley para la velocidad es

$v = \sqrt{1+16t-t^2}$

¿Cuál es el error relativo cometido en el apartado anterior?

3 Preguntas de test

3.1 Identificación de movimiento

Una partícula se mueve en línea recta, cumpliendo su velocidad instantánea

$v = \sqrt{A- B x^2}$

con $A$ y $B$ constantes positivas. La aceleración de una partícula que obedece esta ecuación es…

A proporcional a la posición x.
B nula.
C constante no nula.
D una combinación complicada de raíces cuadradas y polinomios.

3.2 Cálculo de velocidad media

Una partícula describe un movimiento rectilíneo tal que su velocidad instantánea cumple la ley

$v(t) = \frac{v_0T}{t}$

¿Cuánto vale la velocidad media entre $t = T$ y $t = 3 T$ ?

A $0.667 v 0$
B $0.500 v 0$
C $0.549 v 0$
D No hay información suficiente para determinarla.

3.3 Propiedades de un m.a.s.

Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular $ω$ , pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En $t = 0$ pasa por la posición de equilibrio con una velocidad $+ v 0$ .

¿Cuánto vale la velocidad media entre $t = 0$ y $t = T / 4$ , con $T$ el periodo de oscilación?

A $2 v 0 / π$
B Es nula.
C $v 0 / 4$
D $v 0 / 2$

¿Cuánto vale la aceleración en $t = T / 4$ ?

A $+ 4 v 0 / T$
B Es nula.
C $- 4 v 0 / T$
D $- v 0 ω$

3.4 Movimiento con dependencia exponencial

En un movimiento rectilíneo en el que la velocidad depende de la posición como

$v = A\mathrm{e}^{\lambda x}\,$

¿cuánto vale la aceleración?

A $a = 0$
B $a = A λe λ x$
C $a = A 2 λe 2λ x$
C $a = A 2 e 2λ x / 2$

3.5 Gráfica de una aceleración

La gráfica de la figura representa la aceleración de un movimiento rectilíneo entre $t = 0\,\mathrm{s}$ y $t=12\,\mathrm{s}$ . La partícula parte del reposo en $x = 0$ .

¿Cuánto vale la rapidez en $t=12\,\mathrm{s}$ ?

A 36 m/s.
B Es nula.
C 18 m/s.
D 72 m/s.

¿Cuánto vale la rapidez en $t=6\,\mathrm{s}$ ?

A 36 m/s.
B Es nula.
C 18 m/s.
D 72 m/s.

¿Cuál es el desplazamiento neto entre $t=0\,\mathrm{s}$ y $t=12\,\mathrm{s}$ ?

A 72 m.
B 144 m.
C 0 m.
D -432 m.

3.6 Estudio de un m.a.s.

Una partícula describe un movimiento armónico simple alrededor de $x = 0$ tal que comienza en la posición de equilibrio con velocidad +0.40 m/s alcanzando el máximo alejamiento en $t=2\,\mathrm{s}$

¿Cuánto vale la amplitud del movimiento?

A 0.31 m
B No hay información suficiente para hallarla
C 0.80 m
D 0.51 m

¿Cuánto vale la aceleración cuando pasa por $x=+0.50\,\mathrm{m}$ ?

A +0.20m/s²
B -0.31m/s²
C Es nula.
D −0.20m/s²

¿Cuánto tiempo tarda en pasa por primera vez por $x=+0.50\,\mathrm{m}$ ?

A 1.25 s
B 1.76 s
C 0.80 s
D Nunca llega a esa posición.

Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIE)

De Laplace

Contenido