Estudio de un movimiento armónico simple

De Laplace

1 Enunciado

Un oscilador armónico con posición de equilibrio $x eq = 0$ se mueve de tal forma que en $t=0.00\,\mathrm{s}$ la partícula se halla en $x_0=0.80\,\mathrm{m}$ , moviéndose con velocidad $v_0=+0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y aceleración $a_0=-0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ . Halle la frecuencia $ω$ y el periodo del movimiento, su amplitud de oscilación y la fase inicial. Exprese los fasores (amplitudes complejas) de la posición, velocidad y aceleración.

2 Solución

Obtenemos la frecuencia a partir de la ecuación del oscilador armónico

$a = -\omega^2x\,$

Esta ecuación se cumple en todo instante. En particular en el instante inicial, por lo que

$\omega = \sqrt{-\frac{a_0}{x_0}}=\sqrt{\frac{0.20}{0.80}}\mathrm{s}^{-1}= 0.5\,\mathrm{s}^{-1}$

Una vez que tenemos la frecuencia, tenemos el periodo

$T = \frac{2\pi}{\omega} = 4\pi\,\mathrm{s}=12.57\,\mathrm{s}$

A partir de las condiciones iniciales obtenemos el fasor (amplitud compleja) de la posición

$\hat{x}=x_0-\mathrm{j}\frac{v_0}{\omega}$

que en este caso es el número complejo

$\hat{x}=(0.80-\frac{0.60}{0.5}\mathrm{j})\,\mathrm{m}=(0.80-1.20\mathrm{j})\,\mathrm{m}$

A partir del fasor obtenemos la amplitud como su módulo

$A = |\hat{x}| = \sqrt{0.80^2+1.20^2}\,\mathrm{m}=1.44\,\mathrm{m}$

y la constante de fase como su argumento

$\varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{-1.20}{0.80}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}$

El fasor de la velocidad es igual al de la posición multiplicado por $jω$

$\hat{v}=\mathrm{j}\omega\hat{x}=(0.5\,\mathrm{j})(0.80-1.20\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= (0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

y el de la aceleración igual al de la velocidad multiplicado por $jω$

$\hat{a}=\mathrm{j}\omega\hat{v}=(0.5\,\mathrm{j})(0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}= (-0.20+0.30\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$