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Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)

De Laplace

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(→Base vectorial girada)
 
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Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
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Construya una base ortonormal dextrógira <math>\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}</math>, tal que
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# El primer vector, <math>\vec{T}</math>, vaya en la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
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# El segundo, <math>\vec{N}</math>, esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
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# El tercero, <math>\vec{B}</math>, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
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# Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
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==Ejemplo de operaciones con dos vectores==
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Dados los vectores
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# ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
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# ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
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# Escriba <math>\vec{a}</math> como suma de dos vectores, uno paralelo a <math>\vec{v}</math> y otro ortogonal a él.
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==Ángulo entre diagonales==
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Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.
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==Distancia de un vértice a un plano==
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Sea un cubo de arista ''b'' siendo ''O'' uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de ''O'' al plano definido por sus tres vértices contiguos?
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==Determinación de un vector a partir de sus proyecciones==
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Se tiene un vector conocido, no nulo, <math>\vec{A}</math> y uno que se desea determinar, <math>\vec{X}</math>. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por <math>\vec{A}</math>
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Determine el valor de <math>\vec{X}</math>. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?
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==Cálculo de las componentes de un vector==
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De una fuerza <math>\vec{F}_1</math> se sabe que tiene de intensidad 10&thinsp;N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60&deg;. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?
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Si a esta fuerza se le suma otra <math>\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}</math>, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?
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==Base vectorial girada==
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Considere la terna de vectores
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\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad
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# Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
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# Halle la transformación inversa, es decir, exprese <math>\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}</math> como combinación de <math>\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}</math>.
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# Para el caso particular en que <math>\mathrm{tg}(\theta) = 3/4</math>, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector <math>\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}</math> en la nueva base.
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[[Base vectorial girada|Solución]]
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==Desplazamiento de un momento==
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El momento del vector <math>\vec{v}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+\vec{k}</math> respecto al origen de coordenadas vale <math>\vec{M}_O=8\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-6\vec{k}</math>.
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# ¿Cuánto vale su momento respecto al punto A(-1,4,1)?
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# ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de <math>\vec{v}</math>?
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[[Desplazamiento de un momento|Solución]]

última version al 17:20 7 oct 2019

Contenido

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Archivo:diferencia-angulos.png

Solución

3 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.

Archivo:Ejemplo_triangulo_2.png

Solución

4 Construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}, tal que

  1. El primer vector, \vec{T}, vaya en la dirección y sentido de \vec{v}
  2. El segundo, \vec{N}, esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a} y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de \vec{v}) que el vector \vec{a}.
  3. El tercero, \vec{B}, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
  4. Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
\vec{F}=-12\vec{k}
¿Cuál es su expresión en la base \left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}

Solución

5 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}
  1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
  2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
  3. Escriba \vec{a} como suma de dos vectores, uno paralelo a \vec{v} y otro ortogonal a él.

Solución

6 Ángulo entre diagonales

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

7 Distancia de un vértice a un plano

Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

Solución

8 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, \vec{A} y uno que se desea determinar, \vec{X}. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por \vec{A}

\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}

Determine el valor de \vec{X}. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?

Solución

9 Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza \vec{F}_1 se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra \vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

Solución

10 Base vectorial girada

Considere la terna de vectores

\vec{u}_1 = \cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_2 = -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_3 = \vec{k}
  1. Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
  2. Halle la transformación inversa, es decir, exprese \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\} como combinación de \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}.
  3. Para el caso particular en que tg(θ) = 3 / 4, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector \vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k} en la nueva base.

Solución

11 Desplazamiento de un momento

El momento del vector \vec{v}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+\vec{k} respecto al origen de coordenadas vale \vec{M}_O=8\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-6\vec{k}.

  1. ¿Cuánto vale su momento respecto al punto A(-1,4,1)?
  2. ¿Cuál es la ecuación de la recta soporte de \vec{v}?

Solución

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