Base vectorial girada

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Base ortonormal dextrógira
- 2.1 Base ortonormal
- 2.2 Base dextrogira
3 Transformación inversa
4 Caso particular

1 Enunciado

Considere la terna de vectores

$\vec{u}_1 = \cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_2 = -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_3 = \vec{k}$

Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
Halle la transformación inversa, es decir, exprese $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$ como combinación de $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ .
Para el caso particular en que $tg(θ) = 3 / 4$ , particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector $\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}$ en la nueva base.

2 Base ortonormal dextrógira

2.1 Base ortonormal

Para demostrar que se tra de una base ortonormal hay que probar que son unitarios y ortogonales entre sí, es decir

$\vec{u}_i\cdot\vec{u}_k=\begin{cases}1 & i = k \\ 0 & i\neq k\end{cases}$

Calculamos entonces los productos escalares:

De $\vec{u}_1$ consigo mismo

$\vec{u}_1\cdot\vec{u}_1=\cos^2(\theta)+\mathrm{sen}^2(\theta) = 1$

De $\vec{u}_1$ con $\vec{u}_2$ (y viceversa, por la conmutatividad)

$\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2=\vec{u}_2\cdot\vec{u}_1=\cos(\theta)(-\mathrm{sen}(\theta))+\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta) = 0$

De $\vec{u}_1$ con $\vec{u}_3$ (y viceversa). Es fácil ver que son ortogonales ya que $\vec{u}_1$ no tiene componente en $\vec{k}$

$\vec{u}_1\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u}_1=(\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})\cdot\vec{k}= \cos(\theta)\overbrace{\vec{\imath}\cdot\vec{k}}^{=0}+\mathrm{sen}(\theta)\overbrace{\vec{\jmath}\cdot\vec{k}}^{=0} = 0$

De $\vec{u}_2$ consigo mismo

$\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=(-\mathrm{sen}(\theta))^2+\cos^2(\theta) = 1$

De $\vec{u}_2$ con $\vec{u}_3$ (y viceversa). Se anula el producto escalar por la misma razón que el de $\vec{u}_1$ con $\vec{u}_3$

$\vec{u}_2\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u}_1=(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath})\cdot\vec{k}= -\mathrm{sen}(\theta)\overbrace{\vec{\imath}\cdot\vec{k}}^{=0}+\cos(\theta)\overbrace{\vec{\jmath}\cdot\vec{k}}^{=0} = 0$

De $\vec{u}_3$ consigo mismo

$\vec{u}_3\cdot\vec{u}_3=\vec{k}\cdot\vec{k} = 1$

Por tanto, hemos demostrado que la relación anterior para los productos escalares se cumple y la base es ortonormal.

2.2 Base dextrogira

Para demostrar que se trata de una base dextrógira hemos de probar que se cumple la regla de la mano derecha, es decir, que

$\vec{u}_1\times\vec{u}_2=\vec{u}_3\qquad \qquad \vec{u}_2\times\vec{u}_3=\vec{u}_1\qquad \qquad \vec{u}_3\times\vec{u}_1=\vec{u}_2$

Probamos la primera de las igualdades

$\vec{u}_1\times\vec{u}_2=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \cos(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \cos(\theta) & 0\end{matrix}\right|=(\cos^2(\theta)+\mathrm{sen}^2(\theta))\vec{k}=\vec{k}$

De la misma manera se demuestran las otras dos igualdades. Una forma alternativa de demostrarlas es observar que

$\vec{u}_2\times\vec{u}_3 = \vec{u}_2\times(\vec{u}_1\times\vec{u}_2)$

Aplicamos las propiedades del doble producto vectorial

$\vec{u}_2\times\vec{u}_3 = \overbrace{(\vec{u}_2\cdot \vec{u}_2)}^{=1}\vec{u}_1-\overbrace{(\vec{u}_2\cdot \vec{u}_1)}^{=0}\vec{u}_2=\vec{u}_1$

y de la misma manera se obtiene la tercera

$\vec{u}_3\times\vec{u}_1=\vec{u}_2$

por lo que la base es ortonormal y dextrógira.

Esta base supone una rotación de un ángulo $θ$ alrededor del eje OZ.

3 Transformación inversa

La transformación inversa consiste en escribir la base canónica $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$ como combinación lineal de la base $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ , es decir, escribir $\vec{\imath}$ en la forma

$\vec{\imath}=(\ldots)\vec{u}_1 + (\ldots)\vec{u}_2+ (\ldots)\vec{u}_3$

para ello, aplicamos que las componentes de un vector en una base ortonormal se obtienen proyectando sobre cada vector de esa base

$\vec{F}=F_1\vec{u}_1+F_2\vec{u}_2+F_3\vec{u}_3\qquad\Rightarrow\qquad F_k=\vec{F}\cdot\vec{u}_k$

y que el producto escalar es independiente de la base que se emplee para calcularlo. En particular podemos emplear la propia base canónica. En ese caso las componentes de $\vec{\imath}$ serán

$\begin{array}{rcl} i_1=\vec{\imath}\cdot\vec{u}_1 & = & \vec{\imath}\cdot(\cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath})= \cos(\theta) \\ i_1=\vec{\imath}\cdot\vec{u}_2 & = & \vec{\imath}\cdot(-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{cos}(\theta)\vec{\jmath})= -\mathrm{sen}(\theta) \\ i_1=\vec{\imath}\cdot\vec{u}_3 & = & \vec{\imath}\cdot\vec{k}=0 \end{array}$

y por tanto

$\vec{\imath}=\cos(\theta)\vec{u}_1-\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_2$

De la misma manera obtenemos

$\vec{\jmath}=\mathrm{sen}(\theta)\vec{u}_1+\mathrm{cos}(\theta)\vec{u}_2$

y, trivialmente,

$\vec{k}=\vec{u}_3$

Gráficamente, lo que hacemos ahora es proyectar ortogonalmente la antigua base sobre la nueva.

4 Caso particular

En el caso particular $tg(θ) = 0.75 = 3 / 4$ el seno y el coseno valen

$\cos(\theta)=\frac{4}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{4}{5}=0.8\qquad\qquad\mathrm{sen}(\theta)=\frac{3}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}=0.6$

con lo que la relación entre las bases se particulariza a

$\vec{u}_1 = \frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_2 = -\frac{3}{5}\vec{\imath}+\frac{4}{5}\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_3 = \vec{k}$

Para hallar las componentes de

$\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}$

aplicamos de nuevo que

$\vec{F}=F_1\vec{u}_1+F_2\vec{u}_2+F_3\vec{u}_3\qquad\Rightarrow\qquad F_k=\vec{F}\cdot\vec{u}_k$

lo que nos da

$\begin{array}{rcl} F_1=\vec{F}\cdot\vec{u}_1 & = & \left(10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}\right)\cdot\left(\dfrac{4}{5}\vec{\imath}+\dfrac{3}{5}\vec{\jmath}\right)= \dfrac{10\times 4-15\times 3}{5}=-1 \\ && \\ F_2=\vec{F}\cdot\vec{u}_2 & = & \left(10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}\right)\cdot\left(-\dfrac{3}{5}\vec{\imath}+\dfrac{4}{5}\vec{\jmath}\right)= \dfrac{-10\times 3-15\times 4}{5}=-18 \\ && \\ F_1=\vec{F}\cdot\vec{u}_3 & = & \left(10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}\right)\cdot\left(\vec{k}\right)= 3 \end{array}$

y por tanto la expresión de $\vec{F}$ en esta base es