Arco capaz (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

2 Solución

Para ver que son ortogonales calculamos el producto escalar de los dos vectores.

$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP})$

siendo C el centro de la circunferencia.

Desarrollando en esta expresión

$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CP}$

Ahora bien, por ser puntos diametralmente opuestos, $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{BC}$ son vectores del mismo módulo $R$ , misma dirección y sentido contrario, por lo que

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC} = \vec{0}$ $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=-|\overrightarrow{AC}|^2$

lo que nos lleva a

$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{AC}|^2 + 0+|\overrightarrow{CP}|^2$

Puesto que A y P se encuentran sobre la circunferencia, equidistan del punto C:

$|\overrightarrow{AC}|=R$ $|\overrightarrow{CP}|=R$

y por tanto

$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -R^2 + R^2 = 0$

El producto escalar es nulo y los vectores son, por tanto, ortogonales.

El resultado es independiente del punto $P$ , siempre que se encuentre sobre la circunferencia. A esta construcción se la denomina arco capaz.

Para el proceso inverso, se trata de localizar el punto C tal que

$|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=|\overrightarrow{CP}|$

Se puede ver que la situación es la misma, aunque la figura esté girada. Tenemos dos vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ de los que sabemos que son ortogonales, esto es

$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0$

Tomamos el punto C, que es el punto medio de A y B y por tanto verifica

$\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{2}\qquad\Rightarrow\qquad |\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|$

Queda entonces demostrar que

$|\overrightarrow{AC}| \stackrel{?}{=} |\overrightarrow{CP}|$

La demostración del enunciado recíproco es completamente análoga a la anterior. Operando exactamente como antes llegamos de nuevo a la igualdad

$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{CP}|^2$

siendo ahora el dato que el primer miembro es nulo y por tanto

$0 = -|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{CP}|^2$ $\Rightarrow$ $|\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{AC}|=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}$

y por tanto el punto C se encuentra siempre a la misma distancia de P, siendo esta distancia igual a la mitad de la distancia entre A y B.

Esta construcción es útil en Mecánica. Imaginemos una escalera apoyada sobre una pared y el suelo. Cuando la escalera resbala, deslizándose sobre la pared y el suelo, ¿qué trayectoria describe el punto medio de la escalera? En este caso P es la esquina y A y B son los extremos de la escalera. C es su punto medio. Si L es la longitud de la escalera, este resultado prueba que $|\overrightarrow{PC}| = L/2$ y por tanto el punto C describe un arco de circunferencia.

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