Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un vector conocido, no nulo, $\vec{A}$ y uno que se desea determinar, $\vec{X}$ . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por $\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}$

Determine el valor de $\vec{X}$ . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar $\vec{X}$ ?

2 Solución

Ante este problema existe la tentación de “pasar uno de los vectores al otro lado dividiendo”. Algo así como

$\vec{X}=\frac{k}{\vec{A}}\qquad \mbox{INCORRECTO}$

Esta expresión no posee significado alguno, ya que no está definida la división por un vector.

La forma de hallar el vector incógnita es con ayuda del doble producto vectorial

$(\vec{A}\times\vec{X})\times\vec{A} = (\vec{A}\cdot\vec{A})\vec{X}-(\vec{A}\cdot\vec{X})\vec{A}$

Sustituyendo en esta expresión lo que conocemos

$\vec{C}\times\vec{A}=|\vec{A}|^2\vec{X}-k\vec{A}$

y de aquí sí podemos despejar $\vec{X}$ , por estar multiplicado por un escalar

$\vec{X}=\frac{\vec{C}\times\vec{A}}{|\vec{A}|^2}+\frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}$

Vemos que para llegar al resultado necesitamos los dos productos, el escalar y el vectorial y no nos basta uno de ellos.

3 Interpretación geométrica

Este resultado posee una interpretación geométrica sencilla. El vector $\vec{X}$ tendrá una componente paralela y una ortogonal al vector $\vec{A}$ .

$\vec{X}=\vec{X}_\parallel + \vec{X}_\perp$

La parte paralela tendrá por módulo la proyección paralela a $\vec{A}$ y su dirección estará dada por la del unitario en la dirección de $\vec{A}$

$\vec{X}_\parallel = X_\parallel \vec{u}_A = \frac{\vec{X}\cdot\vec{A}}{|\vec{A}|}\,\frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \frac{k\vec{A}}{|\vec{A}|^2}$

esto es, el conocimiento del producto escalar nos da la parte paralela, pero no todo el vector.

La parte perpendicular la obtenemos a partir de $\vec{C}$ , ya que

$X_\perp = \frac{|\vec{X}\times\vec{A}|}{|\vec{A}|} = \frac{|\vec{C}|}{|\vec{A}|}$

Por ello el conocimiento de solo el producto vectorial tampoco nos da todo el vector, ya que nos faltaría la parte paralela.

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