Teoremas del seno y del coseno (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , y ángulos opuestos $A$ , $B$ y $C$ .

2 Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados,

$\vec{a}=\overrightarrow{BC}\qquad\qquad \vec{b}=\overrightarrow{CA}\qquad\qquad \vec{c}=\overrightarrow{BA}$

se verifica la ecuación vectorial

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{c}= \vec{a} + \vec{b}$

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

$(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2$

Desarrollando el producto escalar

$\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=a^2+2ab\cos(\gamma)+b^2=c^2$

El ángulo $γ$ que forman los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector $\vec{a}$ vemos que

$\gamma=\pi-C\,$

por lo que finalmente obtenemos

$a^2 -2ab\,\cos(C) + b^2 = c^2$

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras

$\left(C=\frac{\pi}{2}\right)\qquad\Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2$

3 Teorema del seno

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

$A = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{b}\times\vec{c}\right| = \frac{1}{2}\left|\vec{a}\times\vec{c}\right|$

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

$A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,C}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,A}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,B}{2}$

Dividiendo por el producto $a b c$ y multiplicando por 2 nos queda

$\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}$

que es el teorema del seno.

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