Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Arco capaz
2 Coseno y seno de una diferencia
3 Teoremas del seno y del coseno
4 Construcción de una base
5 Ejemplo de operaciones con dos vectores
6 Ángulo entre diagonales
7 Distancia de un vértice a un plano
8 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones
9 Cálculo de las componentes de un vector
10 Base vectorial girada
11 Desplazamiento de un momento

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Solución

3 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , y ángulos opuestos $A$ , $B$ y $C$ .

Solución

4 Construcción de una base

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}$ , tal que

El primer vector, $\vec{T}$ , vaya en la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo, $\vec{N}$ , esté contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de $\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .
El tercero, $\vec{B}$ , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
Supongamos un vector que en la base canónica se escribe

$\vec{F}=-12\vec{k}$

¿Cuál es su expresión en la base $\left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}$

Solución

5 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

$\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}$

¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
Escriba $\vec{a}$ como suma de dos vectores, uno paralelo a $\vec{v}$ y otro ortogonal a él.

Solución

6 Ángulo entre diagonales

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

7 Distancia de un vértice a un plano

Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

Solución

8 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, $\vec{A}$ y uno que se desea determinar, $\vec{X}$ . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por $\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}$

Determine el valor de $\vec{X}$ . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?

Solución

9 Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza $\vec{F}_1$ se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra $\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}$ , ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

Solución

10 Base vectorial girada

Considere la terna de vectores

$\vec{u}_1 = \cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_2 = -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_3 = \vec{k}$

Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
Halle la transformación inversa, es decir, exprese $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$ como combinación de $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ .
Para el caso particular en que $tg(θ) = 3 / 4$ , particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector $\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}$ en la nueva base.

Solución

11 Desplazamiento de un momento

El momento del vector $\vec{v}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+\vec{k}$ respecto al origen de coordenadas vale $\vec{M}_O=8\vec{\imath}+5\vec{\jmath}-6\vec{k}$ .