Construcción de una base (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Primer vector
3 Segundo vector
4 Tercer vector
- 4.1 Forma alternativa
5 Componentes de un vector dado

1 Enunciado

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}$ , tal que

El primer vector, $\vec{T}$ , vaya en la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo, $\vec{N}$ , esté contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de $\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .
El tercero, $\vec{B}$ , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
Supongamos un vector que en la base canónica se escribe

$\vec{F}=-12\vec{k}$

¿Cuál es su expresión en la base $\left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}$

2 Primer vector

Obtenemos el primer vector normalizando el vector $\vec{v}$ , esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$

Hallamos el módulo de $\vec{v}$

$\left|\vec{v}\right| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$

por lo que

$\vec{T} = \frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}$

3 Segundo vector

El segundo vector debe estar en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ , por lo que debe ser una combinación lineal de ambos

$\vec{N} = \lambda\vec{v}+\mu\vec{a}$

además debe ser ortogonal a $\vec{T}$ (y por tanto, a $\vec{v}$ )

$\vec{N}\cdot\vec{T} = 0 = \vec{N}\cdot\vec{v}$

y debe ser unitario

$\vec{N}\cdot\vec{N}=1$

El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de $\vec{a}$ perpendicular a $\vec{v}$ y posteriormente normalizar el resultado.

La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial

$\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}$

Calculamos el primer producto vectorial

$\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2\\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right|=-6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}$

Hallamos el segundo

$(\vec{v}\times\vec{a})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -6 & 6 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}\right|=18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k}$

Dividiendo por el módulo de $\vec{v}$ al cuadrado obtenemos la componente normal

$\vec{a}_n = \frac{(18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k})}{9}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}$

Alternativamente, podemos hallar esta proyección ortogonal restando al vector completo la parte paralela

$\vec{a}_n = \vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{T})\vec{T}$

Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base

$\vec{N} = \frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}=\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}$

4 Tercer vector

El tercer vector lo obtenemos como el producto vectorial de los dos primeros

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3\end{matrix}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2\end{matrix}\right| = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}$

Por tanto, la base ortonormal dextrógira está formada por los vectores

$\begin{array}{lcr} \vec{T} & = & \displaystyle\frac{1}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\ \vec{N} & = & \displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\ \vec{B} & = & -\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{k} \end{array}$

4.1 Forma alternativa

Podemos acortar un poco el proceso invirtiendo el orden de cálculo.

El tercer vector de la base es ortogonal a los dos primeros. También es ortogonal a cualquier combinación lineal de los dos primeros, en particular a los dos vectores del enunciado $\vec{v}$ y $\vec{a}$ . Por ello, podemos calcular el tercer vector como

$\vec{B} = \frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}$

El producto vectorial vale

$\vec{v}\times\vec{a} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right| = -6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}$

con módulo

$\left|\vec{v}\times\vec{a}\right| = \sqrt{6^2+6^2+3^2} = 9$

resultando el unitario

$\vec{B} = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}$

El segundo vector lo obtenemos del producto vectorial del primero y el tercero, teniendo en cuenta el cambio de signo debido a la inversión del orden

$\vec{N} = -\vec{T}\times\vec{B} = -\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ -2/3 & 2/3 & -1/3\end{matrix}\right|=-\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1\end{matrix}\right| = \frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}$