De Laplace

Revisión a fecha de 08:28 13 nov 2016; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Problemas de boletín
2 Problemas adicionales
3 Preguntas de test

1 Problemas de boletín

1.1 Cálculo de aceleración en una curva

Un coche entra en una curva de 90° y 100 m de radio a 80 km/h. Disminuye su rapidez uniformemente hasta salir de la curva a 50 km/h.

Determine su rapidez cuando ha recorrido 1/3 de la curva, la mitad y 2/3 de ella.
Halle su aceleración tangencial y su aceleración normal en los mismos puntos.
Exprese el vector aceleración en estos puntos en los ejes indicados en la figura

1.2 Anilla ensartada en dos varillas

Una pequeña anilla $P$ se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. Los extremos fijos de las barras distan una cantidad $L$ y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante $Ω$ de forma que describen los ángulos indicados en la figura:

¿Cuáles son las ecuaciones horarias de $P$ ?
¿Qué clase de trayectoria describe?
¿Qué tipo de movimiento realiza?

1.3 Movimiento en un tiro parabólico

Supóngase el movimiento de un proyectil que se caracteriza por poseer una aceleración constante

$\vec{a}(t)=-g\vec{k}$

una posición inicial nula ( $\vec{r}_0=\vec{0}$ ) y una velocidad inicial que forma un ángulo $α$ con la horizontal y tiene rapidez inicial $v 0$ .

Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
Halle el punto donde la partícula impacta con el suelo. ¿Cuál es el alcance máximo para una rapidez inicial dada?
Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante inicial y en el instante en que se encuentra a mayor altura.
Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los dos instantes anteriores.
Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en el punto más alto de la trayectoria.
Suponga que se quiere alcanzar un blanco situado a 60 m con un mortero que comunica una rapidez inicial de 25 m/s. ¿Con qué ángulo debe dispararse si en medio se encuentra un eucalipto de 15 m de altura? (supóngase $g\simeq 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ )

1.4 Tiro parabólico con desnivel

En una partida de los Angry Birds se debe lanzar un pájaro para alcanzar a un cerdo, siendo el movimiento del pájaro debido únicamente a la acción de la gravedad (se desprecia el rozamiento con el aire).

El tirachinas con el que se lanza el pájaro se encuentra a una altura de 7 m respecto al suelo en el que se halla el cerdo. Éste se encuentra a una distancia sobre la horizontal horizontal de 24 m del lanzador.

Calcule la rapidez y el ángulo de elevación respecto a la horizontal con los que debe lanzarse el pájaro, si la rapidez debe ser mínima. ¿Qué rapidez tiene el pájaro en el momento en que impacta con el cerdo? ¿Cuánto tarda en hacerlo? Tómese $g=9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

Suponga ahora que, por error, le comunicamos una rapidez mayor en un 5% a la que debería tener, pero manteniendo correcto el ángulo. ¿Cuánto más lejos o más cerca impacta el pájaro?

1.5 Tiro parabólico en pendiente

Un mortero lanza un proyectil esférico de acero de 5 cm de radio desde un punto sobre el suelo horizontal al pie de una pendiente cuya superficie forma un ángulo $\beta=30^\circ$ con la horizontal. El mortero dispara el proyectil con una velocidad de 21 m/s. Desprecie el rozamiento con el aire y el posible efecto de rotación de la esfera.

Si el proyectil es lanzado con un ángulo α con la horizontal, ¿a qué distancia s del mortero, medida sobre la pendiente, impacta con el suelo?
Halle el valor de α que hace máxima esta distancia.
Suponga que el proyectil se lanza con un ángulo de π/3 con la horizontal. Para este caso, halle:
1. La rapidez que tiene en el momento del impacto.
2. La aceleración tangencial y normal (escalares) en el momento de impacto.
3. La variación en la energía cinética y en la potencial respecto al instante inicial.

Datos: Aceleración de la gravedad $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ . Densidad de masa del acero: $\rho = 7850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$ .

1.6 Análisis de ecuación horaria

Una partícula se mueve por el espacio de forma que su velocidad, en las unidades fundamentales del SI, viene dada por la ecuación horaria

$\vec{v}=2t\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2t^2\vec{k}$

Inicialmente la partícula se encuentra en $\vec{r}=\vec{0}$ .

Calcule la posición en función del tiempo y el desplazamiento entre $t=1\,\mathrm{s}$ y $t=3\,\mathrm{s}$ .
Halle la rapidez en cada instante, así como la distancia que recorre la partícula en el mismo intervalo de tiempo.
Halle las componentes intrínsecas de la aceleración en $t=2\,\mathrm{s}$ , como escalares y como vectores.
Calcule el radio de curvatura en $t=2\,\mathrm{s}$ así como el centro de curvatura en ese instante.

1.7 Estudio de un movimiento tridimensional

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

$\vec{r}(t)=B\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+2B\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)\vec{\jmath}+2B\cos^2(\Omega t)\vec{k}$

¿Qué trayectoria sigue la partícula?
Determine la ley horaria $s (t)$ . Suponga que $s (0) = 0$ .
¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

1.8 Movimiento circular en 3D

Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias

$\vec{r}(t)=4A\cos(\Omega t)\vec{\imath}+ 5A\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}+3A\cos(\Omega t)\vec{k}$

con A y Ω constantes.

¿Qué trayectoria sigue la partícula?
¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
Justifique que este movimiento es circular y uniforme
Determine la posición del centro del movimiento circular
Calcule la velocidad angular de este movimiento circular

1.9 Ejemplo de movimiento expresado en polares

Una partícula describe una curva cuya ecuación en coordenadas polares es

$\rho = A\cos(\Omega t)\qquad\qquad \theta = \Omega t$

Calcule la velocidad y la aceleración en cada instante.
Halle las componentes intrínsecas de la aceleración para todo $t$ .
Calcule el radio y el centro de curvatura en todo momento.
¿De qué tipo de movimiento se trata?

1.10 Caso de movimiento circular

Una partícula describe un movimiento circular de radio $R$ , tal que su velocidad angular instantánea cumple

$\omega = k\theta\,$

con $k$ una constante y $θ$ el ángulo que el vector de posición instantánea forma con el eje OX.

Determine la aceleración angular de la partícula como función del ángulo $θ$ .
Halle las componentes intrínsecas de la aceleración lineal en $θ = π / 2$ y $θ = π$ .
Determine la ley horaria $θ = θ(t)$ .

1.11 Ejemplo de movimiento helicoidal

El movimiento de un pájaro en una corriente térmica es aproximadamente helicoidal, compuesto de un movimiento ascensional y uno de giro alrededor del eje de subida, de forma que la velocidad en cada punto de la trayectoria puede escribirse como

$\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{\omega}_0\times\vec{r}$

siendo

$\vec{v}_0 = v_0\vec{k}\qquad \vec{\omega}_0=\omega_0 \vec{k}$

dos vectores constantes. Si la posición inicial es $\vec{r}_0=A\vec{\imath}$

Determine la velocidad en cada punto expresada en la base de coordenadas cilíndricas.
Determine las ecuaciones horarias $ρ = ρ(t)$ , $θ = θ(t)$ y $z = z (t)$ . ¿Cuánto vale el paso de rosca de la hélice, esto es, lo que sube en el tiempo que da una vuelta alrededor del eje?
Calcule la aceleración del movimiento, así como sus componentes intrínsecas en cada punto del movimiento.
Determine el radio de curvatura de la trayectoria en cualquier instante.

1.12 Espiral logarítmica

Una partícula describe una espiral logarítmica a partir de $t = 0$ de manera que, en el SI y empleando coordenadas polares,

$\rho = 240-48t\qquad\qquad \theta = -0.75\ln\left(1.00-0.20t\right)$

Halle la velocidad en cada instante.
Calcule la rapidez del movimiento como función del tiempo.
¿Cuánto tiempo tarda la partícula en llegar al origen de coordenadas? ¿Cuántas vueltas alrededor del origen da en ese tiempo?
Halle la aceleración para cada instante, así como sus componentes intrínsecas
Calcule los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada punto de ésta, en función de la base $\{\vec{u}_\rho,\vec{u}_\theta\}$
Calcule el radio de curvatura como función del tiempo.

1.13 Oscilador armónico tridimensional

Una partícula se mueve en tres dimensiones de forma tal que verifica la ecuación del oscilador armónico

$\vec{a}=-\omega^2\vec{r}$

con $\omega = 2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Su posición inicial es $\vec{r}_0=5\,\vec{\imath}\ (\mathrm{m})$ .

Para el caso $\vec{v}_0=\vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
Para el caso $\vec{v}_0=10.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ¿cómo es la trayectoria? ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
Suponga ahora que $\vec{v}_0=8.0\,\vec{\jmath}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , ¿cómo es ahora la trayectoria de la partícula?
Para los tres casos anteriores, determine

la rapidez,
las componentes intrínsecas de la aceleración,
los vectores tangente y normal,
el radio de curvatura y el centro de curvatura.

para los instantes $t=0\,$ , $t=0.25\pi\,\mathrm{s}$ y $t = 0.125\pi\,\mathrm{s}$ .

1.14 Rotación tridimensional de una partícula

Una partícula describe un movimiento circular alrededor del origen de forma que en un cierto instante su posición la da el vector

$\vec{r}=(16\vec{\imath}+15\vec{\jmath} -12\vec{k})\,\mathrm{cm}$

La velocidad angular de la partícula en el mismo instante es

$\vec{\omega}=(-12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k})\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

En el mismo instante la aceleración angular tiene sentido opuesto a la velocidad angular y módulo 0.50 rad/s². Para este instante, calcule:

La velocidad lineal y la rapidez de la partícula.
La aceleración tangencial y la aceleración normal, tanto escalares como vectores.
Los vectores tangente y normal.
El radio de curvatura y el centro de curvatura.

1.15 Movimiento circular con aceleraciones relacionadas

Una partícula describe un movimiento circular en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de tal forma que en todo instante se cumple la relación entre las componentes intrínsecas escalares de la aceleración:

$a_t + a_n = 0\qquad \forall t$

Inicialmente la partícula se encuentra en $R\vec{\imath}$ , moviéndose con velocidad $v_0\vec{\jmath}$

Para el instante $t = 0$ , halle el vector aceleración, el vector velocidad angular y el vector aceleración angular.
Calcule la rapidez de la partícula como función del tiempo.
Halle la distancia recorrida, así como el ángulo $θ$ que el vector de posición forma con el eje OX, como función del tiempo

1.16 Partícula unida a un sistema articulado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud $h$ situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante $Ω$ respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular $- 2Ω$ . En el instante $t = 0$ el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
Para el instante t = 0 halle
1. La velocidad y la rapidez.
2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
3. El radio y el centro de curvatura.
Para el instante t = π / (2Ω) calcule
1. La velocidad y la rapidez.
2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png

1.17 Caso de movimiento con aceleración constantee

Una partícula se mueve con aceleración constante, de forma que en tres instantes sucesivos ocupa las siguientes posiciones

$t (s)$	$\vec{r} (\mathrm{m})$
$0\,$	$-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}$
$1\,$	$1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k}$
$2\,$	$4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}$

Halle la velocidad media en el intervalo (0 s,2 s)
Demuestre que la velocidad instantánea inicial (en $t = 0\,\mathrm{s}$ ) y la aceleración del movimiento valen

$\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y $\vec{a}=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$

Para el instante , halle:
1. La velocidad, la rapidez y la aceleración instantáneas
2. La aceleración tangencial y la aceleración normal (escalares)
3. Los vectores del triedro de Frenet $\left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}$
4. El radio de curvatura y el centro de curvatura.

2 Problemas adicionales

2.1 Movimiento con velocidades diferentes

Una nave viaja por el espacio recorriendo 150 km con una velocidad $\vec{v}_1=100\vec{\imath}+50\vec{\jmath}+100\vec{k}$ (m/s), da un quiebro instantáneo y recorre otros 150 km con velocidad $\vec{v}_2=60\vec{\imath}+80\vec{k}$ (m/s). Calcule

La distancia recorrida y la rapidez media.
El desplazamiento y la velocidad media en el recorrido.
Supongamos que el quiebro no es instantáneo, sino que lo hace con aceleración constante, empleando un tiempo de 25\,min en la maniobra. ¿Cuál es en ese caso el desplazamiento total y la velocidad media del trayecto?

2.2 Evolvente de una circunferencia

La evolvente de una circunferencia es la curva plana que se obtiene cuando se desenrolla un hilo tenso de un carrete circular. Suponga que se tiene una bobina de radio $A$ que se va desenrollando a ritmo constante, de forma que el punto $C$ donde el hilo deja de hacer contacto con el carrete forma un ángulo $θ = ω t$ con el eje $O X$ . Una partícula material se encuentra en el punto $P$ situado en el extremo del hilo, moviéndose con este extremo a medida que el hilo se va desenrollando.

Determine el vector de posición de la partícula.
Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
Determine la distancia recorrida por la partícula como función del tiempo, $s = s (t)$ .
Halle los vectores tangente y normal a la trayectoria.
Halle el radio de curvatura y el centro de curvatura.

2.3 Análisis de un movimiento bidimensional

Una partícula se mueve según la ecuación horaria

$\vec{r}(t) = \left(\sqrt{B+At}\right)\vec{\imath}+\left(\sqrt{B-At}\right)\vec{\jmath}$

con A y B dos constantes positivas.

¿Cuáles son las dimensiones de las constantes A y B?
¿Qué tipo de trayectoria describe la partícula?
¿Cuánto vale la rapidez de la partícula en $t = 0$ ?
¿Cuánto vale el desplazamiento de la partícula entre $t = - A / B$ y $t = + A / B$ ?
¿Cuánto vale la distancia recorrida por la partícula entre $t = - A / B$ y $t = + A / B$ ?

3 Preguntas de test

3.1 Ángulo entre velocidad y aceleración

Una partícula se mueve de forma que en un instante dado su aceleración y su velocidad forman un ángulo de $3π / 4$ . En ese momento la partícula…

A está cambiando su dirección pero manteniendo constante su rapidez.
B esta frenando, pero manteniendo su dirección de movimiento.
C está frenando y cambiando su dirección.
D está acelerando mientras cambia su dirección.

3.2 Movimiento oscilatorio sobre circunferencia

Una partícula se mueve sobre la circunferencia, expresada en polares y en el SI, ρ = 1.00m, siguiendo la ley horaria

$\theta = \pi \cos(\pi t)\qquad \forall t$

con $θ$ el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX positivo.

La aceleración angular en t = (1/3)s vale aproximadamente, en rad/s²,…

A $-4.93\vec{k}$
B $-8.54\vec{k}$
C $-15.5\vec{k}$
D $+8.54\vec{k}$

Para este mismo movimiento, la velocidad lineal cuando pasa por $θ = 0$ es…

A $\pm(9.86\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
B nula.
C $\pm (3.14 \vec{\imath})\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
D $(9.86 \vec{u}_\rho)\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Para el mismo movimiento, indique cuál de las siguientes figuras representa la velocidad y la aceleraciones lineales en t = (1/3)s.

A	B


C	D

3.3 Lanzamiento horizontal desde una torre

Una partícula se lanza horizontalmente con una rapidez de 8.0 m/s desde una torre de 20.0 m de altura, estando sometida exclusivamente a la aceleración de la gravedad.

¿Cuánto tarda aproximadamente en impactar con el suelo y a qué distancia de la torre lo hace?

A 0.8 s y 6.4 m
B 2.5 s y 20 m
C 1.4 s y 11 m
D 2.0 s y 16 m

¿Con qué rapidez impacta con el suelo?

A 8.0 m/s
B 21.4 m/s
C 19.8 m/s
D -19.8 m/s

3.4 Estudio de magnitudes instantáneas

En un instante dado, una partícula ocupa la posición $\vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}$ , tiene una velocidad $\vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y una aceleración $\vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

¿Cuánto valen en dicho instante su aceleración tangencial y su aceleración normal, medidas en m/s²?

A $a t = 0.00$ y $a n = 2.50$
B $a t = 2.00$ y $a n = 1.50$
C $a t = - 2.50$ y $a n = 0.00$
D $a t = - 1.50$ y $a n = 2.00$

¿Cuánto vale el radio de curvatura en dicho instante?

A R = 10.0 m
B R →∞
C R = 16.7 m
D R = 12.5 m

¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo Δt = 10 s más tarde?

A $\vec{r}= 40\vec{\jmath}-90\vec{k}$ y $\vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}$ .
B $\vec{r}=40\vec{\jmath}+35\vec{k}$ y $\vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}$ .
C $\vec{r}= 40\vec{\jmath}-95\vec{k}$ y $\vec{v}=4\vec{\jmath}+3\vec{k}$ .
D No hay información suficiente para calcularlas.

3.5 Caso de aceleración tangencial constante

Una partícula se mueve a lo largo de una circunferencia de radio R en el plano OXY con centro el origen, de forma que su aceleración tangencial es constante. En este movimiento la aceleración normal…

A aumenta cuadráticamente con el tiempo, $a n = A t 2 + B t + C$
B puede tener cualquier valor y cualquier variación
C es constante.
D aumenta linealmente con el tiempo, $a n = A t + B$

3.6 Varillas que giran en sentidos opuestos

Se tiene una pequeña anilla P ensartada en la intersección de dos barras situadas en el plano XY: una pasa por el origen de coordenadas, girando uniformemente con velocidad angular Ω; la otra gira en sentido opuesto con la misma velocidad angular en valor absoluto en torno a un punto del eje OX situado a una distancia L del origen. En t = 0 ambas barras coinciden con el propio eje OX

Archivo:varillas-rotatorias-simetricas.png

¿Qué trayectoria sigue la anilla?

A Circular
B Parabólica
C Rectilínea
D Helicoidal

¿Cuales son las ecuaciones horarias de P en coordenadas polares?

A $\rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \theta = \Omega t$
B $\rho = (L/2)\cos(\Omega t)\qquad \theta = \Omega t$
C $\rho = L\tan(\Omega t)/2\qquad \theta = \Omega t$
D $\rho = L/2\qquad \theta = \Omega t$

¿Cuánto vale su aceleración como función del tiempo?

A $\vec{a}=(L\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)/\cos(\Omega t))\vec{\jmath}$
B $\vec{a}=(L\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)/\cos^3(\Omega t))\vec{\jmath}$
C $\vec{a}=(L\Omega^2/\cos^3(\Omega t))(\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath})$
D $\vec{a}=\vec{0}$

3.7 Estudio de movimiento instantáneo

En un instante dado una partícula se encuentra en $\vec{r}_1=2\vec{\imath}-3\vec{k}$ (m), moviéndose con velocidad $\vec{v}_1 = -3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}$ (m/s)y aceleración $\vec{a}_1 = 25\vec{\jmath}-20\vec{k}$ (m/s\tss{2}). En ese instante\…

¿cuánto vale la aceleración tangencial (escalar)?

A Necesitamos conocer como varía $|\vec{v}|$ con el tiempo.
B 20 m/s²
C $(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$
D 0 m/s²

¿cuánto vale la aceleración normal (vector)?

A $\vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$
B 25 m/s²
C $(12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$
D $(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$

¿cuánto vale el radio de curvatura?

A 1.25 m.
B 1 m.
C No hay información suficiente para hallarlo.
D 0.80 m.

3.8 Movimiento circular en función del ángulo

Una partícula describe un movimiento circular de radio R en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de forma que su velocidad angular cumple en cada instante

$\vec{\omega}=\left(\sqrt{C\theta}\right)\vec{k}$

siendo C una constante positiva y $θ = θ(t)$ el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX. La partícula parte en $t = 0$ desde $θ = π / 2$ .

¿Qué tipo de movimiento describe esta partícula?

A Circular uniformemente acelerado.
B Oscilatorio a lo largo de la circunferencia.
C Uno con aceleración angular que va como $1/\sqrt{\theta}$
D Circular uniforme.

En este movimiento, ¿son constantes las aceleraciones tangencial y normal (escalares)?

A La tangencial sí, pero la normal no.
B Las dos son constantes.
C No son constantes ni una ni la otra.
D La normal sí, pero la tangencial no.

¿Cuánto vale la aceleración lineal de la partícula en t = 0?

A $(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}$
B $(CR/2)\vec{k}$
C $-(C R/2)\vec{\imath}$
D $-(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}$

3.9 Movimiento circular

Una partícula describe un movimiento circular uniforme tal que en $t = 0$ pasa por el origen de coordenadas con velocidad $\vec{v}=2\vec{\imath}+8\vec{\jmath}+16\vec{k}$ (m/s) y con aceleración $\vec{a}=4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k}$ (m/s²).