Cálculo de aceleración en una curva

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Rapidez
3 Componentes intrínsecas de la aceleración
- 3.1 Aceleración tangencial
- 3.2 Aceleración normal
4 Vector aceleración

1 Enunciado

Un coche entra en una curva de 90° y 100 m de radio a 80 km/h. Disminuye su rapidez uniformemente hasta salir de la curva a 50 km/h.

Determine su rapidez cuando ha recorrido 1/3 de la curva, la mitad y 2/3 de ella.
Halle su aceleración tangencial y su aceleración normal en los mismos puntos.
Exprese el vector aceleración en estos puntos en los ejes indicados en la figura

2 Rapidez

Como en el problema de la aceleración en una recta podría parecer que la rapidez varía linealmente con la posición y por tanto, a mitad de la curva la velocidad se habrá reducido en un 50% de la variación total. Sin embargo, no es así. Lo que es constante en este problema es la derivada respecto al tiempo, no la derivada respecto a la posición.

Se nos dice que

$\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t=\mathrm{cte.}$

aunque no se nos dice cuánto vale esta cantidad, solo la velocidad en dos puntos conocidos (80 km/h a la entrada y 50 km/h a la salida).

El cálculo es análogo al caso rectilíneo, pero empleando la rapidez y la distancia recorrida en lugar de la velocidad y la posición. Tenemos por un lado que, al ser constante

$a_t=\frac{\Delta |\vec{v}|}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2-|\vec{v}|_1}{\Delta t}$

mientras que la rapidez media es la media de la rapidez inicial y la final

$|\vec{v}|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{|\vec{v}|_2+|\vec{v}|_1}{2}$

Si multiplicamos estas dos ecuaciones

$a_t \Delta s = \frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2}\qquad \Rightarrow\qquad a_t =\frac{|\vec{v}|^2_2-|\vec{v}|^2_1}{2\,\Delta s}$

siendo la distancia recorrida

$\Delta s = \frac{\pi}{2}R$

A este resultado se puede llegar también despejando de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado para el movimiento a lo largo de la carretera

$s = s_0 + |\vec{v}|_0 t + \frac{1}{2}a_tt^2\qquad |\vec{v}|=|\vec{v}|_0+a_t t$

El valor resultante de la aceleración tangencial es, pasando las velocidades a m/s,

$a_t=\frac{13.9^2-22.2^2}{\pi\times 100}=-0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Para los puntos intermedios aplicamos la relación correspondiente para un cierto ángulo θ

$a_t=\frac{|\vec{v}|^2-|\vec{v}|_1^2}{2\theta R}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}|=\sqrt{|\vec{v}|_1^2+2a_tR \theta}=\sqrt{494-192\theta}$

Aplicando esta fórmula a los valores indicados nos queda la tabla

$θ$	$\|\vec{v}\| (\mathrm{m}/\mathrm{s})$	$\|\vec{v}\| (\mathrm{km}/\mathrm{h})$
0	22.2	80.0
π/6	19.8	71.4
π/4	18.5	66.7
π/3	17.1	61.6
π/2	13.9	50.0

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

3.1 Aceleración tangencial

La aceleración tangencial, según indica el enunciado, es constante, y su expresión y valor ya lo hemos calculado en el apartado anterior

$a_t = \frac{|\vec{v}_2|^2-|\vec{v}_1|^2}{\pi R}= -0.958\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3.2 Aceleración normal

La aceleración normal, en cada punto de la curva, tiene la expresión

$a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R}$

puesto que el radio de curvatura es constante y el cuadrado de la rapidez varía linealmente con la distancia, esta aceleración normal es también una función lineal del ángulo

$a_n = \frac{|\vec{v}|_1^2+2a_tR\theta}{R}$

Sustituyendo los valores del enunciado (pasados a metros por segundo) queda

$a_n = \left(4.94-1.92\theta\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Esto nos da la siguiente tabla de valores

$θ$	$a t (m / s 2)$	$a n (m / s 2)$
0	-0.958	4.94
π/6	-0.958	3.94
π/4	-0.958	3.43
π/3	-0.958	2.93
π/2	-0.958	1.93

4 Vector aceleración

Una vez que tenemos las componentes intrínsecas, construimos el vector aceleración como

$\vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}$

Aquí $\vec{T}$ es el vector unitario tangente a la trayectoria, en la dirección y sentido de la velocidad. En función del ángulo $θ$ este unitario es igual a

$\vec{T}=-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}$

mientras que el vector normal es el unitario hacia adentro de la circunferencia

$\vec{N}=-\cos(\theta)\vec{\imath}-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}$

Combinando los dos términos nos queda el vector aceleración

$\vec{a}=\left(-a_t\,\mathrm{sen}(\theta)-a_n\cos(\theta)\right)\vec{\imath}+\left(a_n\cos(\theta)-a_n\,\mathrm{sen}(\theta)\right)\vec{\jmath}$

Sustituyendo los valores de los ángulos del enunciado

$θ$	$\vec{a} (\mathrm{m}/\mathrm{s}^2)$
0	$-4.94\vec{\imath}-0.96\vec{\jmath}$
π/6	$-2.93\vec{\imath}-2.80\vec{\jmath}$
π/4	$-1.75\vec{\imath}-3.11\vec{\jmath}$
π/3	$-0.64\vec{\imath}-3.02\vec{\jmath}$
π/2	$0.96\vec{\imath}-1.93\vec{\jmath}$