Partícula unida a un sistema articulado

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones horarias
3 Magnitudes en t=0
4 Magnitudes en t = π/(2Ω)
- 4.1 Velocidad y rapidez
- 4.2 Aceleración

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud $h$ situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante $Ω$ respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular $- 2Ω$ . En el instante $t = 0$ el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto P para todo instante.
Para el instante t = 0 halle
1. La velocidad y la rapidez.
2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).
3. El radio y el centro de curvatura.
Para el instante t = π / (2Ω) calcule
1. La velocidad y la rapidez.
2. La aceleración como vector y sus componentes intrínsecas (escalares).

Archivo:barras-articuladas-rotatorias-2.png

2 Ecuaciones horarias

Podemos hallar la posición instantánea mediante una suma vectorial

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}$

siendo

$\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}$

y

$\overrightarrow{AP}=h\cos(-2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(-2\Omega t)\vec{\jmath}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}$

lo que da

$\vec{r}=\overrightarrow{OP}=h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

Una vez que tenemos el vector de posición, calculamos la velocidad instantánea derivando una vez respecto al tiempo

$\vec{v}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)-2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

y la aceleración derivando una segunda vez

$\vec{a}=-h\Omega^2\left(\mathrm{cos}(\Omega t)+4\,\mathrm{cos}(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-h\Omega^2\left(\mathrm{sen}(\Omega t)-4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}$

3 Magnitudes en t=0

Si particularizamos los resultados generales para el instante $t = 0$ nos queda

$\vec{r}_0=2h\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}$

sin más que aplicar que $sen(0) = 0$ y $cos(0) = 1$ .

3.1 Velocidad y rapidez

La velocidad ya la tenemos

$\vec{v}_0=-h\Omega\vec{\jmath}$

y la rapidez o celeridad es el módulo de esta

$|\vec{v}_0|=h\Omega$

De camino, obtenemos el vector tangente en este instante

$\vec{T}_0=\frac{\vec{v}_0}{|\vec{v}_0|}=-\vec{\jmath}$

3.2 Aceleración

El vector aceleración ya lo tenemos

$\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}$

Esta aceleración es ortogonal a la velocidad instantánea, por tanto se anula la aceleración tangencial en este instante.

$\vec{a}_{t0}=\vec{0}\qquad\qquad a_{t0}=0$

y la aceleración normal coincide con la aceleración al completo

$\vec{a}_{n0}=\vec{a}_0=-5h\Omega^2\vec{\imath}\qquad\qquad a_n = |\vec{a}_n|=5h\Omega^2$

El vector normal en este instante es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

$\vec{N}_0=\frac{\vec{a}_{n0}}{|\vec{a}_{n0}|}=-\vec{\imath}$

3.3 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura lo hallamos a partir de la rapidez y la aceleración normal

$R_0=\frac{|\vec{v}_0|^2}{a_{n0}}=\frac{h^2\Omega^2}{5h\Omega^2}=\frac{h}{5}$

y el centro de curvatura en este instante se encuentra en el punto

$\vec{r}_{c0}=\vec{r}_0+R_0\vec{N}_0=2h\vec{\imath}-\frac{h}{5}\vec{\imath}=\frac{9}{5}h\vec{\imath}$

Vemos que el radio de curvatura no coincide con la longitud de la barra, ni el centro de curvatura con el punto de articulación.

4 Magnitudes en t = π/(2Ω)

De la misma manera operamos para el otro instante, sin más que sustituir. Resultan la posición, velocidad y aceleración siguientes:

$\vec{r}_1=h\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{v}_1=h\Omega\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \vec{a}_1=h\Omega^2 \left(4\vec{\imath}-\vec{\jmath}\right)$