Rotación tridimensional de una partícula

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad y rapidez
- 2.1 Velocidad lineal
- 2.2 Rapidez
3 Componentes intrínsecas de la aceleración
- 3.1 Aceleración tangencial
  - 3.1.1 A partir de su expresión vectorial
  - 3.1.2 A partir de su módulo, dirección y sentido
- 3.2 Aceleración normal
  - 3.2.1 A partir de su expresión vectorial
  - 3.2.2 A partir de su módulo, dirección y sentido
4 Vectores tangente y normal
- 4.1 Vector tangente
- 4.2 Vector normal
5 Radio y centro de curvatura

1 Enunciado

Una partícula describe un movimiento circular alrededor del origen de forma que en un cierto instante su posición la da el vector

$\vec{r}=(16\vec{\imath}+15\vec{\jmath} -12\vec{k})\,\mathrm{cm}$

La velocidad angular de la partícula en el mismo instante es

$\vec{\omega}=(-12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k})\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

En el mismo instante la aceleración angular tiene sentido opuesto a la velocidad angular y módulo 0.50 rad/s². Para este instante, calcule:

La velocidad lineal y la rapidez de la partícula.
La aceleración tangencial y la aceleración normal, tanto escalares como vectores.
Los vectores tangente y normal.
El radio de curvatura y el centro de curvatura.

2 Velocidad y rapidez

En lo que sigue, en todos los cálculos se usará el SI, por lo que escribiremos la posición como

$\vec{r}=(0.16\vec{\imath}+0.15\vec{\jmath} -0.12\vec{k})\,\mathrm{m}$

2.1 Velocidad lineal

Para una partícula que describe un movimiento de rotación alrededor del origen, su velocidad instantánea la da

$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -12 & 20 & 9 \\ 0.16 & 0.15 & -0.12\end{matrix}\right|=(-3.75\vec{\imath}+5.00\vec{k})\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

2.2 Rapidez

La rapidez o celeridad es igual al módulo de la velocidad

$\left|\vec{v}\right| = \sqrt{3.75^2+5.00^2}=6.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Esta rapidez es igual a

$\left|\vec{v}\right| = \left|\vec{\omega}\right|\left|\vec{r}\right|$

donde

$\left|\vec{\omega}\right|=\sqrt{12^2+20^2+9^2}=25\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$

y

$\left|\vec{r}\right|=\sqrt{0.16^2+0.15^2+0.12^2}=0.25\mathrm{m}$

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

La aceleración de una partícula en un movimiento circular alrededor del origen lo da la expresión vectorial

$\vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times\vec{v}$

donde el primer término es la aceleración tangencial

$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\times\vec{r}$

y el segundo la normal

$\vec{a}_n=\vec{\omega}\times\vec{v}$

3.1 Aceleración tangencial

3.1.1 A partir de su expresión vectorial

Para calcular la aceleración tangencial necesitamos antes la aceleración angular. Por tratarse de un movimiento circular, la aceleración angular es paralela a la velocidad angular

$\vec{\alpha}=\alpha\,\vec{u}_\omega = \alpha\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}$

Puesto que se nos dice que su módulo es 0.50rad/s² y su sentido opuesto al de la velocidad angular, el vector aceleración angular vale

$\vec{\alpha}=-0.50\frac{-12\vec{\imath}+20\vec{\jmath}+9\vec{k}}{25}=\left(0.24\vec{\imath}-0.40\vec{\jmath}-0.18\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}$

Esto nos da la aceleración tangencial

$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\times\vec{r}=\left(0.075\vec{\imath}+0.10\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

En forma escalar, proyectamos sobre la velocidad

$a_t=\frac{\vec{a}_t\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=-0.125\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3.1.2 A partir de su módulo, dirección y sentido

Esta aceleración tangencial también puede calcularse observando que:

Es tangente a la velocidad, es decir, es paralela a

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{3.75\vec{\imath}+5\vec{k}}{6.25}=-0.6\vec{\imath}-0.8\vec{k}$

Tiene módulo

$\left|\vec{a}_t\right|=\left|\vec{\alpha}\right|\left|\vec{r}\right|=0.5\times 0.25=0.125\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Puesto que la aceleración angular $\vec{\alpha}$ es opuesta a la velocidad angular, la aceleración tangencial es opuesta a la velocidad.

Por tanto

$\vec{a}_t = -|\vec{a}_t|\vec{T}=-0.125\left(-0.6\vec{\imath}-0.8\vec{k}\right)=\left(0.075\vec{\imath}+0.10\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3.2 Aceleración normal

3.2.1 A partir de su expresión vectorial

La parte normal de la aceleración en un movimiento circular es

$\vec{a}_n=\vec{\omega}\times\vec{v}$

lo que en este caso da

$\vec{a}_n=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -12 & 20 & 9 \\ -3.75 & 0.00 & 5.00\end{matrix}\right| = \left(-100\vec{\imath}-93.75\vec{\jmath}-75\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

y en forma escalar

$a_n=\left|\vec{a}_n\right| = 156.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

3.2.2 A partir de su módulo, dirección y sentido

La aceleración normal en este movimiento puede también calcularse observando que:

Tiene por módulo

$|\vec{a}_n| = |\vec{\omega}|^2|\vec{r}|=25^2\times 0.25= 156.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Su dirección es radial, es decir en la de

$\vec{u}_r=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=0.64\vec{\imath}+0.60\vec{\jmath}-0.48\vec{k}$

Su sentido es hacia adentro de la circunferencia, según el vector normal

$\vec{N}=-\vec{u}_r = -0.64\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}+0.48\vec{k}$

Todo esto da

$\vec{a}_t=156.25\left(-0.64\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}+0.48\vec{k}\right)=\left(-100\vec{\imath}-93.75\vec{\jmath}-75\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

y la forma escalar

$a_n=\left|\vec{a}_n\right| = 156.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

4 Vectores tangente y normal

4.1 Vector tangente

El vector tangente es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{3.75\vec{\imath}+5\vec{k}}{6.25}=-0.6\vec{\imath}-0.8\vec{k}$

4.2 Vector normal

El vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}= -0.64\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}+0.48\vec{k}$

que en el caso de un movimiento circular alrededor del origen es radial y hacia el centro de la circunferencia

$\vec{N}=-\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}$

5 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura puede hallarse por la fórmula

$R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}$

pero en el caso de un movimiento circular alrededor del origen es simplemente la distancia a éste

$R=|\vec{r}| = 0.25\,\mathrm{m}$

El centro de curvatura se puede hallar por

$\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}$

pero en el caso de un movimiento circular el centro de curvatura es el propio centro de la circunferencia, que en este caso es

$\vec{r}_c=\vec{0}$

Rotación tridimensional de una partícula

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Velocidad y rapidez

2.1 Velocidad lineal

2.2 Rapidez

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

3.1 Aceleración tangencial

3.1.1 A partir de su expresión vectorial

3.1.2 A partir de su módulo, dirección y sentido

3.2 Aceleración normal

3.2.1 A partir de su expresión vectorial

3.2.2 A partir de su módulo, dirección y sentido

4 Vectores tangente y normal

4.1 Vector tangente

4.2 Vector normal

5 Radio y centro de curvatura

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