Espiral logarítmica (GIE)
De Laplace
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1 Enunciado
Una partícula describe una espiral logarítmica a partir de t = 0 de manera que, en el SI y empleando coordenadas polares,
- Halle la velocidad en cada instante.
- Calcule la rapidez del movimiento como función del tiempo.
- ¿Cuánto tiempo tarda la partícula en llegar al origen de coordenadas? ¿Cuántas vueltas alrededor del origen da en ese tiempo?
- Halle la aceleración para cada instante, así como sus componentes intrínsecas
- Calcule los vectores tangente y normal a la trayectoria en cada punto de ésta, en función de la base
- Calcule el radio de curvatura como función del tiempo.
2 Velocidad instantánea
La fórmula para la velocidad en coordenadas polares viene dada por
siendo en este caso
lo que nos da la velocidad
pero
así que queda simplemente
Hay que señalar que esta velocidad depende del tiempo. Aunque las componentes son constantes, los vectores de la base son dependientes del tiempo, ya que van girando con la partícula en su movimiento.
3 Rapidez instantánea
Una vez que tenemos la velocidad instantánea, calculamos la rapidez hallando su módulo.
El movimiento es con rapidez constante y por tanto uniforme.
4 Tiempo de impacto
El tiempo en llegar al origen de coordenadas es aquel que hace ρ = 0. Esto ocurre para
El número de vueltas lo obtenemos calculando la variación en la coordenada θ. Cuando este ángulo varía en 2π quiere decir que se ha dado una vuelta. Si varía en 4π son dos vueltas y así sucesivamente. El número de vueltas total será
Pero
Por tanto
Es decir, aunque tarda un tiempo finito en llegar al centro, da infinitas vueltas antes de hacerlo. La razón es que estas vueltas son cada vez más pequeñas y requieren menos tiempo.
5 Aceleración
5.1 En forma vectorial
La expresión de la aceleración en coordenadas polares es
donde, en este caso
Reuniendo todo esto nos queda
En este caso particular, no obstante, hubiera sido más fácil calcular la aceleración como la derivada de la velocidad respecto al tiempo, aprovechando que las componentes de la velocidad son constantes.
donde
lo que nos da la aceleración
5.2 Aceleración tangencial
Por tratarse de un movimiento uniforme, la aceleración tangencial es nula
5.3 Aceleración normal
Si la aceleración tangencial es nula, toda la aceleración es normal, por lo que
En forma escalar, hallamos el módulo,
6 Vectores tangente y normal
6.1 Vector tangente
El vector tangente a la trayectoria es el unitario en la dirección y sentido de la velocidad
Este vector forma un ángulo constante con la dirección radial.
6.2 Vector normal
El vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración normal
Es inmediato comprobar que este vector es ortogonal al anterior.
7 Radio de curvatura
Una vez que tenemos la aceleración normal y la rapidez hallamos el radio de curvatura como
El radio de curvatura disminuye linealmente con el tiempo hasta anularse cuando la partícula llega al centro de la espiral.