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Problemas de Cinemática del punto (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Problemas del boletín

1.1 Ecuaciones de curvas

Expresa en forma parámetrica e implícita las siguientes curvas

  1. El eje OY
  2. Una circunferencia de radio a, contenida en el plano XY y con centro en el origen.
  3. Una parábola contenida en el plano YZ y con ecuación z = y2.

1.2 Trayectoria de una partícula

La trayectoria de una partícula viene dada por la ley horaria

\vec{r}(t) = \dfrac{A(T^2-t^2)}{T^2+t^2}\,\vec{\imath} + \dfrac{2ATt}{T^2+t^2}\,\vec{\jmath}

Determina la velocidad y aceleración de la partícula, los vectores del triedro intrínseco, así como la ecuación de la trayectoria. Calcula también las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración ¿Cual es la expresión de un desplazamiento elemental \mathrm{d}\vec{r}? ¿Cuánto tiempo emplea en llegar al punto medio de la trayectoria?. ¿Y al punto final? Describe cualitativamente la evolución temporal de la posición de la partícula.

1.3 Tiro oblicuo

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial v0 y un ángulo α con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

1.4 Cuerda enrollándose

Una partícula se mueve en el plano OXY mientras permanece conectada a uno de los extremos de un hilo inextensible de longitud \ l=\pi R\ . El otro extremo está unido a un punto fijo A de una circunferencia de radio R y centro O, cuyas coordenadas en el sistema cartesiano OXY son \overrightarrow{OA}= R \vec{\imath}. Partiendo de la posición inicial \left.\overrightarrow{OP}\right|_{t=0} = R \left( \vec{\imath} + \pi \vec{\jmath} \right), el movimiento de la partícula con velocidad de módulo constante v0 da lugar a que el hilo, que permanece siempre tenso, se enrolle en dicha circunferencia. Utilizando como parámetro el ángulo θ correspondiente al punto C donde desaparece el contacto hilo--circunferencia, calcula:

  1. Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria seguida por la partícula.
  2. La ley horaria del movimiento θ = θ(t) y tiempo que tarda el hilo en enrollarse completamente sobre la circunferencia.
  3. La aceleración de la partícula.
  4. El triedro intrínseco de la trayectoria seguida por la partícula

1.5 Barra girando en un plano

Una barra rígida AB de longitud \ a\ se mueve en un plano vertical OXY, manteniendo su extremo A articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas \overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}, y verificando la ley horaria θ(t) = 2ωt, con 0 \leq \theta \leq \pi y siendo ω = cte. Un hilo inextensible de longitud 2a tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto O), mientras que del otro cuelga una partícula P que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo B de la barra, de forma que el tramo \overline{BP} permanece siempre paralelo al eje OY (ver figura). Se pide:

  1. Ecuaciones horarias del punto P: \ \overrightarrow{OP} = \mathbf{r} (t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}.
  2. Instante del tiempo tM en que la partícula alcanza su altura máxima.
  3. Radio de curvatura de la trayectoria seguida por P, en el instante considerado en el apartado anterior.

1.6 Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular ω constante. Encuentra en función de la latitud λ, la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: R = 6.37 \times 10^6 m.)


1.7 Punto moviéndose sobre una parábola

Un punto inicialmente en reposo en la posición x = a, y = b,

describe la parábola \ \Gamma: y^2 = (b^2/a) x. Se conoce la componente y de la aceleración: ay = − k2y, con k = cte. Determina en función del tiempo la posición, velocidad y aceleración. ¿Cuál es la siguiente posición de reposo, y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?

1.8 Barra deslizando sobre una circunferencia

En un plano OXY, se define el sistema cinemático formado por los dos siguientes elementos geométricos:

  1. una circunferencia fija, de radio R y centrada en el punto C de coordenadas (x_C=R,\, y_C=0);
  2. un segmento rectilíneo móvil A'A, de longitud superior a 4R, el cual gira con velocidad angular constante ω (en sentido antihorario) alrededor de un eje fijo que pasa por su punto medio O y es normal al plano OXY (eje OZ).

Sabiendo que el ángulo θ ( que forman OA y OX) es nulo en el instante inicial (t = 0); y considerando como móvil problema el punto P en el que se cortan el segmento A'A y la circunferencia , se pide:

  1. item Determinar las ecuaciones horarias, \mathbf{r}(t) = \overrightarrow{OP}(t) = x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}, del punto P, así como sus vectores velocidad, \mathbf{v}(t), y aceleración, \mathbf{a}(t).
  2. Calcular las aceleraciones tangencial y normal de dicho punto P.

1.9 Parámetro arco de una hélice

Sea la hélice Γ descrita en un sistema de referencia cartesiano OXYZ por las siguientes ecuaciones paramétricas:

\Gamma\,:\,\mathbf{r} = \mathbf{r}(\lambda) \left\{ \begin{array}{l} x(\lambda) = a \cos\lambda\\ y(\lambda) = a \,\mathrm{sen}\,\lambda\\ z(\lambda) = h \lambda \end{array} \right.

donde a y h son constantes conocidas.

  1. Determina la longitud recorrida sobre la hélice (parámetro arco) en función del parámetro λ
  2. Obtén los vectores del triedro intrínseco en cada punto de dicha curva.
  3. Calcula su radio de curvatura.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_Cinem%C3%A1tica_del_punto_(G.I.A.)"

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