Tiro oblicuo (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

Determina el movimiento de un proyectil disparado con una velocidad inicial $v 0$ y un ángulo $α$ con la horizontal. El proyectil está sometido a la acción de la gravedad. Calcula el radio de curvatura en el punto más alto de su trayectoria.

2 Solución

2.1 Movimiento del proyectil

El proyectil está sometido a la acción de la gravedad, es decir, a una aceleración uniforme. Elegimos el sistema de referencia como se indica en el dibujo, con el eje $O X$ sobre la horizontal y el eje $O Y$ vertical al suelo. En este sistema de referencia, la gravedad es

$\vec{g} = -g\,\vec{\jmath}$

La ecuación que determina la velocidad en función del tiempo es

$\mathrm{d}\vec{v} = \vec{a}_0\mathrm{d} t\to \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{d} v_x = 0\\ \mathrm{d} v_y = -g\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} v_z = 0 \end{array} \right.$

Integrando una vez resulta

$\vec{v}(t) = \left\{ \begin{array}{l} v_x = v_{x0}\\ v_y = v_{y0}-g t\\ v_z = v_{z0} \end{array} \right.$

La velocidad inicial es

$\vec{v}_0 = \left( v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha,0\right)$

Con lo que la evolución de la velocidad en el tiempo es

$\vec{v}(t) = (v_0\cos\alpha,v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-g t,0)$

Obtenemos la posición en cada instante del proyectil integrando la ecuación

$\mathrm{d}\vec{r} = \vec{v}(t)\mathrm{d} t\to \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{d} x = v_x(t)\mathrm{d} t = v_{x0}\,\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} y = v_y(t)\mathrm{d} t= (v_{y0} - g t)\,\mathrm{d} t\\ \mathrm{d} z = v_z(t)\mathrm{d} t= 0 \end{array} \right.$

Integrando obtenemos