Barra girando en un plano (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una barra rígida $A B$ de longitud $\ a\$ se mueve en un plano vertical $O X Y$ , manteniendo su extremo $A$ articulado en un punto del eje horizontal de coordenadas $\overrightarrow{OA}= a \vec{\imath}$ , y verificando la ley horaria $θ(t) = 2ω t$ , con $0 \leq \theta \leq \pi$ y siendo $ω =$ cte. Un hilo inextensible de longitud $2 a$ tiene uno de sus extremos conectado al origen del sistema de referencia (punto $O$ ), mientras que del otro cuelga una partícula $P$ que mantiene al hilo siempre tenso. El hilo se apoya sobre una pequeña polea de radio despreciable situada en el extremo $B$ de la barra, de forma que el tramo $\overline{BP}$ permanece siempre paralelo al eje $O Y$ (ver figura). Se pide:

Ecuaciones horarias del punto $P: \ \overrightarrow{OP} = \mathbf{r} (t) =x(t) \vec{\imath} + y(t) \vec{\jmath}$ .
Instante del tiempo $t M$ en que la partícula alcanza su altura máxima.
Radio de curvatura de la trayectoria seguida por $P$ , en el instante considerado en el apartado anterior.

2 Solución

2.1 Ecuaciones horarias del punto $\boldsymbol{P}$

Podemos construir el vector $\overrightarrow{OP}$ como

$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP}.$

Veamos como calcular cada uno de los vectores

El vector $\overrightarrow{OA}$ es simplemente el vector de posición del punto $A$

$\overrightarrow{OA} = [a,0,0]$

Calculamos las componentes de $\overrightarrow{AB}$ proyectando sobre los ejes a través del ángulo $θ$

$\overrightarrow{AB} = [a\cos\theta,a\,\mathrm{sen}\,\theta,0]$

Por último el vector $\overrightarrow{BP}$ es

$\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{BP}|\,\vec{\jmath} = [0,-|\overrightarrow{BP}|,0]$

Sabiendo que la longitud total del hilo es $2 a$ , del dibujo vemos que

$|\overrightarrow{BP}| = 2a - |\overrightarrow{OB}|.$

Tenemos $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(a(1+\cos\theta),a\,\mathrm{sen}\,\theta,0)$ , luego su módulo es

$|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\,\mathrm{sen}\,^2\theta} = a\sqrt{2(1+\cos\theta)} = 2a\cos(\theta/2)$

donde hemos usado $\cos(\theta/2) = \sqrt{(1+\cos\theta)/2}$ . Entonces

$\overrightarrow{BP} = [0,-2a(1-\cos(\theta/2)),0]$

A partir de la expresión de $\overrightarrow{OP}$ obtenemos

$\overrightarrow{OP} = [ a(1+\cos\theta),a(\,\mathrm{sen}\,\theta-2 +2\cos(\theta/2)),0]$

Sustituyendo la ley horaria $θ(t) = 2 w t$ obtenemos

$\overrightarrow{OP}(t) = [ a(1+\cos(2wt)),a(\,\mathrm{sen}\,(2wt)-2+2\cos(wt)),0]$

El dibujo indica la trayectoria seguida por el punto $P$ y el extremo de la barra $B$

2.2 Instante en que alcanza la altura máxima

La partícula alcanza su altura máxima cuando la componente $Y$ de la velocidad se anula. La velocidad de la partícula es

$\begin{array}{ll} \vec{v}_P = \dot{\overrightarrow{OP}} =& [-2aw\,\mathrm{sen}\,(2wt),2aw(\cos(2wt)-\,\mathrm{sen}\,(wt)),0] =\\ & [-2aw\,\mathrm{sen}\,(\theta),2aw(\cos(\theta)-\,\mathrm{sen}\,(\theta/2)),0] \end{array}$

Para que la velocidad $v y$ sea nula debe ocurrir que

$\cos(\theta) = \,\mathrm{sen}\,(\theta/2)$

Teniendo en cuenta que $\,\mathrm{sen}\,(\theta/2) = \sqrt{(1-\cos\theta)/2}$ , elevando al cuadrado llegamos a la ecuación

2cos 2 θ + cosθ - 1 = 0

Esta ecuación tiene dos soluciones

$\cos\theta = \left\{ \begin{array}{l} 1/2 \\ -1 \end{array} \right. \to \theta = \left\{ \begin{array}{l} \pi/3 \\ \pi \end{array} \right.$

El punto de altura máxima corresponde al primer valor. Así pues el ángulo para el que la altura es máxima, y el tiempo correspondiente son

$\begin{array}{ccc} \theta_{M} = \pi/3&\,\,\,\,&t_M = \pi/6w \end{array}$

2.3 Radio de curvatura en el punto más alto

Necesitamos la aceleración en el instante $t M$ . La aceleración en cualquier instante es

$\begin{array}{ll} \vec{a}_P = \dot{\vec{v}}_P =& [-4aw^2\cos(2wt),-2aw^2(-2\,\mathrm{sen}\,(2wt)+\cos(wt)),0] =\\ &[-4aw^2\cos(\theta),-2aw^2(2\,\mathrm{sen}\,(\theta)+\cos(\theta/2)),0] \end{array}$