Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra (G.I.A.)

De Laplace

1 Enunciado

La Tierra rota uniformemente con respecto a su eje con velocidad angular $ω$ constante. Encuentra en función de la latitud $λ$ , la velocidad y la aceleración de un punto sobre la superficie terrestre, debidas a dicha rotación (radio de la Tierra: $R = 6.37 \times 10^6$ m.)

2 Solución

La rotación de la tierra se describe con un vector deslizante cuya recta soporte es el eje de rotación y su módulo es la velocidad angular uniforme $ω$ . Si elegimos el eje $O Z$ coincidente con el eje de rotación el vector queda

$\vec{\omega} = \omega\vec{k}$

La velocidad de un punto en la superficie de la tierra con vector de posición $\vec{r}$ es

$\vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}$

Hay que determinar el vector de posición en función de la latitud y de la longitud. Observando el dibujo vemos que

$\vec{r}(\lambda,\phi) = \left\{ \begin{array}{l} x = R\cos\lambda\cos\phi\\ y = R\cos\lambda\,\mathrm{sen}\,\phi\\ z = R\,\mathrm{sen}\,\lambda \end{array} \right.$

donde la longitud $φ(t) = ω t$ . Haciendo el producto vectorial obtenemos

$\vec{v}(t) = R\omega\cos\lambda\,\left[-\,\mathrm{sen}\,(\omega t),\cos(\omega t),0 \right]$

Este resultado también se obtiene derivando en la expresión de $\vec{r}(\lambda,\phi)$ respecto del tiempo.

Para obtener la aceleración derivamos respecto del tiempo en la última expresión de $\vec{v}(t)$ y obtenemos

$\vec{a}(t) =\dot{\vec{v}}(t) = -R\omega^2\cos\lambda\,\left[\cos(\omega t),\,\mathrm{sen}\,(\omega t),0 \right]$

Los módulos son

$\begin{array}{l} |\,\vec{v}\,| = R\omega\cos\lambda\\ |\,\vec{a}\,| = R\omega^2\cos\lambda \end{array}$

La frecuencia angular de rotación de la tierra es $w = 2π / T$ , siendo $T$ el periodo de rotación. Por tanto

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1\,\mathrm{h}}\frac{1\,\mathrm{h}}{60\,\mathrm{min}} \frac{1\,\mathrm{min}}{60\,\mathrm{s}} = \frac{2\pi}{24\times60\times60}\,\mathrm{rad/s} = 7.27\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$

Teniendo en cuenta el valor de $R$ dado en el enunciado los valores numéricos en el ecuador ( $λ = 0$ ) son

$\begin{array}{l} |\,\vec{v}\,| = R\omega = 463\,\mathrm{m/s}\\ |\,\vec{a}\,| = R\omega^2 = 3.37\times10^{-2}\,\mathrm{m/s^2} \end{array}$

2.1 Cálculo con vectores

Podemos resolver el problema utilizando la descripción del movimiento circular en términos de los vectores velocidad angular y aceleración angular. El eje de giro coincide con el eje $O Z$ , y el módulo de la velocidad angular es constante. Tenemos

$\vec{\omega} = \omega\,\vec{k}=[0,0,\omega]\qquad\qquad \vec{\alpha}=\vec{0}$

La velocidad de la partícula es

$\begin{array}{ll} \vec{v} =& \vec{\omega}\times\vec{r} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & \omega \\ R\cos\lambda\cos\Phi & R\cos\lambda\,\mathrm{sen}\,\Phi & R\,\mathrm{sen}\,\lambda \end{array} \right| \\ \\ = & R\omega\cos\lambda\,[-\cos\Phi,\,\mathrm{sen}\,\Phi,0]= R\omega\cos\lambda\,[-\cos(\omega\,t),\,\mathrm{sen}\,(\omega\,t),0] \end{array}$

Para la aceleración tenemos

$\begin{array}{ll} \vec{a} = &\dot{\vec{v}} = \dot{\vec{\omega}}\times\vec{r} + \vec{\omega}\times\dot{\vec{r}} = \vec{\alpha}\times\vec{r} + \vec{\omega}\times\vec{\omega}\times\vec{r} =\\ \\ =& \vec{\omega}\times\vec{v}= \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & \omega \\ -R\omega\cos\lambda\,\mathrm{sen}\,\Phi & R\omega\cos\lambda\cos\Phi & 0 \end{array} \right|=\\ \\ =& -R\omega^2\cos\lambda\,[\cos\Phi(t), \,\mathrm{sen}\,\Phi(t),0]= -R\omega^2\cos\lambda\,[\cos(\omega\,t), \,\mathrm{sen}\,(\omega\,t),0] \end{array}$

Como es lógico, obtenemos los mismos resultados que en el apartado anterior.

Velocidad de un punto en la superficie de la Tierra (G.I.A.)

De Laplace

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2 Solución

2.1 Cálculo con vectores

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