Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)

De Laplace

Revisión a fecha de 18:16 13 sep 2013; Enrique (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Expresión que carece de sentido
2 Paralelogramo en cuadrilátero
3 Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)
4 Arco capaz
5 Ejemplo de ecuación vectorial de un plano
6 Teoremas del seno y del coseno
7 Seno y coseno de una diferencia
8 Ejemplo de clasificación de vectores
9 Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)
10 Volumen de un paralelepípedo
11 Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)
12 Ejemplo de construcción de una base
13 No Boletín - Area de un cuadrilátero (Ex.Nov/12)
14 No Boletín - Calcular el ángulo entre dos vectores
15 No Boletín - Ejemplo de operaciones con dos vectores
16 No Boletín - Cálculo de las componentes de un vector
17 No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas
18 No Boletín - Cálculo de una diagonal (Ex.Ene/13)
19 No Boletín - Diagonales de un rombo
20 No Boletín - Determinación de un vector a partir de sus proyecciones
21 No Boletín - Ortogonalidad de dos vectores (Ex.Nov/12)
22 No Boletín - Sistema de ecuaciones vectoriales

1 Expresión que carece de sentido

Si $\,\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}\,$ y $\,\vec{d}\,$ son vectores libres, y $\,\lambda\,$ es un escalar, ¿cuál de las cuatro siguientes expresiones carece de sentido en el álgebra vectorial?

(a) $\,\,\,\,\,\,\frac{\lambda\,\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{c}\times\vec{d}\,|}$

(b) $\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{(\vec{c}\cdot\vec{d}\,)}$

(c) $\vec{a}\cdot[\vec{b}\times(\vec{c}\cdot\vec{d}\,)]$

(d) $\vec{a}\times[(\vec{b}\times\vec{c}\,)+\lambda\,\vec{d}\,\,]$

2 Paralelogramo en cuadrilátero

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

3 Lados de un triángulo rectángulo (Ex.Nov/11)

¿Cuál de las siguientes ternas de vectores libres podría corresponder a los tres lados de un triángulo rectángulo?

1) $\,\,\,\vec{a}=(-\vec{\imath}+4\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}-5\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

2) $\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\imath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(2\,\vec{\imath}-3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(5\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

3) $\,\,\,\vec{a}=(\vec{\imath}-2\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(-2\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

4) $\,\,\,\vec{a}=(3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{b}=(\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m;}\,\,\,\,\, \vec{c}=(2\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$

4 Arco capaz

Sean $A$ y $B$ dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea $P$ otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores $\overrightarrow{AP}$ y $\overrightarrow{BP}$ son ortogonales.

Inversamente, sean $A$ , $B$ y $P$ tres puntos tales que $\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$ . Sea $C$ el punto medio entre $A$ y $B$ . Pruebe que $|\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|$ .

5 Ejemplo de ecuación vectorial de un plano

Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre $\vec{a}= 2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+6\vec{k}$ y que contiene a un punto $P$ , cuya posición respecto del origen de un sistema de referencia $O X Y Z$ viene dada por el radiovector $\vec{r} = \vec{\imath} + 5\vec{\jmath} + 3\vec{k}$ . Calcule la distancia que separa a dicho plano del origen $O$ . (Unidades del SI)

6 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

$c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,cos(\gamma)$

y del seno

$\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}{c}$

en un triángulo de lados $a$ , $b$ y $c$ , y ángulos opuestos $α$ , $β$ y $γ$ .

7 Seno y coseno de una diferencia

A partir del producto escalar y del producto vectorial de dos vectores unitarios en un plano, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de la diferencia de dos ángulos:

$\begin{array}{rcl}\cos(\beta-\alpha) & = & \cos(\alpha)\cos(\beta)+\,\mathrm{sen}(\alpha)\,\mathrm{sen}(\beta) \\ && \\ \mathrm{sen}(\beta-\alpha) & = &\cos(\alpha)\,\mathrm{sen}(\beta)-\,\mathrm{sen}(\alpha)\cos(\beta)\end{array}$

8 Ejemplo de clasificación de vectores

De los siguientes vectores ligados con sus respectivos puntos de aplicación:

a) $\vec{v}_1 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $A(3,1,1)\,$

b) $\vec{v}_2 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $B(1,2,0)\,$

c) $\vec{v}_3 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $C(-1,3,-1)\,$

d) $\vec{v}_4 = 2\vec{\imath}-\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $D(-3,4,-1)\,$

e) $\vec{v}_5 = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath} + \vec{k}$ en $E(7,5,3)\,$

indique cuáles pueden representar al mismo vector deslizante y cuáles al mismo vector libre.

9 Longitud de una sombra (Ex.Nov/11)

En cierto sistema de coordenadas cartesianas, el suelo viene definido por el plano de ecuación $x-2y+2z=0\,$ y en él se halla clavada una varilla rectilínea representada por el vector $\overrightarrow{OP}=(4\,\vec{\imath}-3\,\vec{\jmath}\,)\,\mathrm{m}$ . Suponiendo que es mediodía y los rayos solares inciden perpendicularmente al suelo, ¿cuál es la longitud de la sombra que la varilla proyecta sobre el suelo?

10 Volumen de un paralelepípedo

Sean los puntos de coordenadas (en el SI) $O (1,0,2)$ , $A (3,2,4)$ , $B (2,6,8)$ y $C (2, - 3,1)$ . Determine el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{OC}$ .

Halle del mismo modo el volumen del paralelepípedo definido por los vectores $\overrightarrow{AO}$ , $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ .

Calcule igualmente el volumen del tetraedro irregular definido por estos cuatro puntos.

11 Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)

Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de $14$ m.

2) Ser ortogonal al vector $(3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\,$ m.

3) Formar junto a los vectores $\,\vec{\imath}\,\,$ m y $\,\vec{k}\,$ m un paralelepípedo de volumen igual a $6$ m $3$ .

12 Ejemplo de construcción de una base

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$ $\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:

El primer vector tiene la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo vector está contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ , y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de $\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .
El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.

13 No Boletín - Area de un cuadrilátero (Ex.Nov/12)

¿Corresponde la siguiente fórmula al área del cuadrilátero $ABCD\,$ ?

$\frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD}\,|$

14 No Boletín - Calcular el ángulo entre dos vectores

Halle el ángulo que forman los vectores

$\vec{A}=24\vec{\imath}-32\vec{k}\qquad\mbox{y}\qquad \vec{B}=16\vec{\jmath}+12\vec{k}$

15 No Boletín - Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

$\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}$

¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
Escriba $\vec{a}$ como suma de dos vectores, uno paralelo a $\vec{v}$ y otro ortogonal a él.

16 No Boletín - Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza $\vec{F}_1$ se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra $\vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}$ , ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

17 No Boletín - Cálculo de distancia entre dos rectas

Sean las rectas $r 1$ , que pasa por los puntos $A ( - 2,5,1)$ y $B (7, - 7,1)$ , y $r 2$ que pasa por $C (5,4, - 3)$ y $D (5,4,2)$ (todas las unidades en el SI). Empleando el álgebra vectorial, determine la distancia entre estas dos rectas.

18 No Boletín - Cálculo de una diagonal (Ex.Ene/13)

Sea el rombo cuyos lados quedan definidos por los vectores $\vec{a}=(-\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$ y $\vec{b}=(\sqrt{2}\,\vec{\imath}+2\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,)\,\mathrm{m}\,$ . ¿Cuál es la longitud de su diagonal mayor?

19 No Boletín - Diagonales de un rombo

Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.

20 No Boletín - Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido no nulo, $\vec{A}$ , y uno que se desea determinar, $\vec{X}$ . Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por $\vec{A}$

$\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}$

Determine el valor de $\vec{X}$ . ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallar $\vec{X}$ ?

21 No Boletín - Ortogonalidad de dos vectores (Ex.Nov/12)

En un triedro cartesiano OXYZ (coordenado en unidades SI) se consideran los puntos A(1,2,1) y B(p,1,2). ¿Cuál es el valor de p si los vectores $\overrightarrow{OA}$ y $\overrightarrow{AB}$ son ortogonales?

22 No Boletín - Sistema de ecuaciones vectoriales

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

$\vec{A}\cdot\vec{B} = \vec{A}\cdot\vec{C}$ $\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\vec{C}$

siendo $\vec{A}\neq \vec{0}$ , entonces $\vec{B} = \vec{C}$ ; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces $\vec{B}\neq\vec{C}$ .