1.2. Paralelogramo en cuadrilátero

De Laplace

1 Enunciado

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

2 Solución

Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son , , y . Las posiciones de los puntos medios E, F, G y H se encuentran en

                        

Para demostrar que estos cuatro puntos forman un paralelogramo, debemos probar que sus lados son paralelos dos a dos. El vector que une E y F es

El vector que une H y G se calcula de la misma forma

Resulta un vector idéntico al anterior y por tanto el vector ligado es paralelo al .

Operando del mismo modo se demuestra que y son también paralelos e iguales.

Por tanto, el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, esto es, una figura plana con lados paralelos dos a dos.

Nótese que no se hace ninguna restricción sobre el cuadrilátero ABCD. Ni siquiera se exige que sea una figura plana. Puede ser una estructura articulada tridimensional y aun así, los puntos medios yacen en el mismo plano y forman un paralelogramo.