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Problemas de herramientas matemáticas (GIOI)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Distancia de un vértice a un plano)
(→Distancia de un vértice a un plano)
Línea 66: Línea 66:
Sea un cubo de arista ''b'' siendo ''O'' uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de ''O'' al plano definido por sus tres vértices contiguos?
Sea un cubo de arista ''b'' siendo ''O'' uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de ''O'' al plano definido por sus tres vértices contiguos?
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Revisión de 16:40 7 oct 2019

Contenido

1 Arco capaz

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Pruebe que el centro de la circunferencia que pasa por A, B y P se encuentra en el punto medio del segmento AB.

Solución

2 Coseno y seno de una diferencia

A partir del producto escalar y del vectorial de dos vectores del plano, con módulo unidad, demuestre las fórmulas trigonométricas para el coseno y el seno de una diferencia de dos ángulos.

Archivo:diferencia-angulos.png

Solución

3 Teoremas del seno y del coseno

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

c^2 = a^2 + b^2 -2ab\,\mathrm{cos}(C)

y del seno

\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}=\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}

en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.

Archivo:Ejemplo_triangulo_2.png

Solución

4 Construcción de una base

Dados los vectores

\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}

Construya una base ortonormal dextrógira \{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\}, tal que

  1. El primer vector, \vec{T}, vaya en la dirección y sentido de \vec{v}
  2. El segundo, \vec{N}, esté contenido en el plano definido por \vec{v} y \vec{a} y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de \vec{v}) que el vector \vec{a}.
  3. El tercero, \vec{B}, sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
  4. Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
\vec{F}=-12\vec{k}
¿Cuál es su expresión en la base \left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}

Solución

5 Ejemplo de operaciones con dos vectores

Dados los vectores

\vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}
  1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
  2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
  3. Escriba \vec{a} como suma de dos vectores, uno paralelo a \vec{v} y otro ortogonal a él.

Solución

6 Ángulo entre diagonales

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

7 Distancia de un vértice a un plano

Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?

Solución

8 Determinación de un vector a partir de sus proyecciones

Se tiene un vector conocido, no nulo, \vec{A} y uno que se desea determinar, \vec{X}. Se dan como datos su producto escalar y su producto vectorial por \vec{A}

\vec{A}\cdot\vec{X}=k\qquad \vec{A}\times\vec{X} = \vec{C}

Determine el valor de \vec{X}. ¿Es suficiente una sola de las dos ecuaciones para hallarlo?

Solución

9 Cálculo de las componentes de un vector

De una fuerza \vec{F}_1 se sabe que tiene de intensidad 10 N y que los ángulos que forma con los semiejes OX y OY positivos valen 60°. Determine las componentes cartesianas de esta fuerza. ¿Existe solución? ¿Es única?

Si a esta fuerza se le suma otra \vec{F}_2 = (-10\vec{\imath}-10\vec{\jmath})\,\mathrm{N}, ¿qué ángulo forma la resultante con los ejes coordenados?

Solución

10 Base vectorial girada

Considere la terna de vectores

\vec{u}_1 = \cos(\theta)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_2 = -\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath} \qquad \vec{u}_3 = \vec{k}
  1. Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
  2. Halle la transformación inversa, es decir, exprese \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\} como combinación de \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}.
  3. Para el caso particular en que tg(θ) = 3 / 4, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector \vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k} en la nueva base.

Solución

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